Operazione ben definite su Z_n
Ciao a tutti,
sto dimostrando che la relazione di congruenza definita su $Z$ è compatibile con le due due operazioni definite su $Z$.
Le dispense sulle quale sto studiando dimostrano la somma come segue:
sia $bar{a} + bar{b} = bar{a + b}$ allora:
$bar{a} + bar{b} = bar{a + sn + b + nt} = bar{(a + b) +n(s + t)} = bar{a + b}$
In pratica qui sostituisce $a$ con un generico $a + sn$ e $b$ con $b+nt$ che nelle classi resto modulo n sono equivalenti, e arriva ad $a + b$.
Ho ho provato a dimostrarlo più o meno come faccio per dimostrare che la somma in Z, con questo ragionamento:
La relazione di congruenza in Z è cosi definita:
$a equiv b (mod n) leftrightarrow n | (a -b)$
Presi $bar{a},bar{b} in Z_n$ ho che $bar{a} + bar{b} = bar{a + b}$
Prendo $a' equiv a (mod n)$ e $b' equiv b (mod n)$ la cui somma sarà data da $bar{a'} + bar{b'} = bar{a' + b'}$
voglio verificare che $(a + b) equiv (a' + b') (mod n)$
Esplicito le relazioni precedenti:
1. $a' equiv a (mod n) rightarrow n | (a' - a) rightarrow a' - a = nk$
2. $b' equiv b (mod n) rightarrow n | (b' - b) rightarrow b' - b = nj$
3. $(a' + b') equiv (a + b) (mod n) rightarrow n | ((a' + b') - (a + b)) rightarrow (a' + b') - (a + b) = ns$
Se 1 + 2 = 3, allora ho dimostrato che l'operazione è ben definita:
$a' - a + b' - b = n(k + j) rightarrow n | ((a' + b') - (a + b)) rightarrow (a' + b') equiv (a + b) (mod n)$
Per cui l'operazione è ben definita.
Salvo questioni di lunghezza rispetto alla prima soluzione proposta, è corretta?
Grazie, Lorenzo
sto dimostrando che la relazione di congruenza definita su $Z$ è compatibile con le due due operazioni definite su $Z$.
Le dispense sulle quale sto studiando dimostrano la somma come segue:
sia $bar{a} + bar{b} = bar{a + b}$ allora:
$bar{a} + bar{b} = bar{a + sn + b + nt} = bar{(a + b) +n(s + t)} = bar{a + b}$
In pratica qui sostituisce $a$ con un generico $a + sn$ e $b$ con $b+nt$ che nelle classi resto modulo n sono equivalenti, e arriva ad $a + b$.
Ho ho provato a dimostrarlo più o meno come faccio per dimostrare che la somma in Z, con questo ragionamento:
La relazione di congruenza in Z è cosi definita:
$a equiv b (mod n) leftrightarrow n | (a -b)$
Presi $bar{a},bar{b} in Z_n$ ho che $bar{a} + bar{b} = bar{a + b}$
Prendo $a' equiv a (mod n)$ e $b' equiv b (mod n)$ la cui somma sarà data da $bar{a'} + bar{b'} = bar{a' + b'}$
voglio verificare che $(a + b) equiv (a' + b') (mod n)$
Esplicito le relazioni precedenti:
1. $a' equiv a (mod n) rightarrow n | (a' - a) rightarrow a' - a = nk$
2. $b' equiv b (mod n) rightarrow n | (b' - b) rightarrow b' - b = nj$
3. $(a' + b') equiv (a + b) (mod n) rightarrow n | ((a' + b') - (a + b)) rightarrow (a' + b') - (a + b) = ns$
Se 1 + 2 = 3, allora ho dimostrato che l'operazione è ben definita:
$a' - a + b' - b = n(k + j) rightarrow n | ((a' + b') - (a + b)) rightarrow (a' + b') equiv (a + b) (mod n)$
Per cui l'operazione è ben definita.
Salvo questioni di lunghezza rispetto alla prima soluzione proposta, è corretta?
Grazie, Lorenzo
Risposte
A parte che hai fatto il giro dell'oca, cosa molto apprezzata dagli algebristi (ma che a me non piace 
), direi che è corretto. Se vuoi essere ulteriormente formale:
$forall a,a' in {\bar a}, b,b' in {\bar b}$ $exists t,s in ZZ\text{ t.c. }a= a' +t*n, b=b'+s*n Rightarrow a+b=_n a+b + (t+s)*n Rightarrow$
$Rightarrow a+b=_n a+t*n + b+s*n Rightarrow a+b=_n a'+b'$
Ma alla fine è la stessa cosa
P.S. Nell'ultimo passaggio metti dei più !
), direi che è corretto. Se vuoi essere ulteriormente formale:$forall a,a' in {\bar a}, b,b' in {\bar b}$ $exists t,s in ZZ\text{ t.c. }a= a' +t*n, b=b'+s*n Rightarrow a+b=_n a+b + (t+s)*n Rightarrow$
$Rightarrow a+b=_n a+t*n + b+s*n Rightarrow a+b=_n a'+b'$
Ma alla fine è la stessa cosa
P.S. Nell'ultimo passaggio metti dei più !
Ciao Maci !
Ho corretto i segni dell'ultimo passaggio, mi ero perso evidentemente !
Grazie per il tuo aiuto, come sempre
Ho corretto i segni dell'ultimo passaggio, mi ero perso evidentemente !
Grazie per il tuo aiuto, come sempre
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