Omomorfismo surgettivo interi di Gauss
Ciao a tutti, volevo un parere su questo esercizio.
Sia $A=ZZ//(169)$ e sia $B=ZZ//(2+3i)$. Determinare un omomorfismo $phi:A \to B$ e calcolare il nucleo di $phi$
Ora il mio scopo è assegnare l'immagine del nucleo, sfruttando i teoremi di isomorfismo. Osservo inoltre che $169=13^2=[(2-3i)(2+3i)]^2$
Allora avevo pensato che porre $phi(a+bi)=(3a+2b)$ potesse essere un'assegnazione valida, in quanto $phi(2-3i)=0$ ed effettivamente $phi(169)=0$, però non so se tale omomorfismo è valido e sopratutto non saprei come verificare la surgettività...
Pareri a riguardo?
Grazie mille!
Sia $A=ZZ//(169)$ e sia $B=ZZ//(2+3i)$. Determinare un omomorfismo $phi:A \to B$ e calcolare il nucleo di $phi$
Ora il mio scopo è assegnare l'immagine del nucleo, sfruttando i teoremi di isomorfismo. Osservo inoltre che $169=13^2=[(2-3i)(2+3i)]^2$
Allora avevo pensato che porre $phi(a+bi)=(3a+2b)$ potesse essere un'assegnazione valida, in quanto $phi(2-3i)=0$ ed effettivamente $phi(169)=0$, però non so se tale omomorfismo è valido e sopratutto non saprei come verificare la surgettività...
Pareri a riguardo?
Grazie mille!
Risposte
A mio parere per verificare la suriettività dell'omomorfismo basta applicare il Teorema di corrispondenza. Infatti noi sappiamo che $(2+3i)$, ideale per cui si quozienta $Z$ nell'insieme B, fattorizza 169 negli interi di Gauss, quindi da una parte $(2+3i)$ divide 169 e ciò implica $169=(2+3i)*b$ e dall'altra ogni multiplo di $(2+3i)$, per definizione di ideale, rimane nell'ideale. Quindi, siccome c'è una corrispondenza biunivoca fra gli ideali di $Z$/$(2+3i)$ e gli ideali di $Z$ che contengono (2+3i), e l'ideale generato da 169 contiene (2+3i), allora l'omomorfismo e suriettivo...
Quindi il mio omomorfismo sarebbe esatto?!
Hmh... per verificare che sia effettivamente un omomorfismo di anelli dobbiamo far vedere che l'operazione non dipende dai rappresentanti. Quindi che: φ(a+b)=φ(a)+φ(b) e che φ(ab)=φ(a)φ(b).
i) φ(a+bi)+φ(c+di)=3a+2b+3c+2d=3(a+c)+2(b+d)=φ((a+bi)+(c+di)) OK!
ii) φ((a+bi)(c+di))=φ(ac+adi+bci-bd)=φ(ac-bd+i(ad+bc))=3(ac-bd)+2(ad+bc)=3ac-3bd+2ad+2bc $!=$ φ(a+bi)φ(c+di)=(9ac+6(ad+bc)+4bd)
... problemino...
i) φ(a+bi)+φ(c+di)=3a+2b+3c+2d=3(a+c)+2(b+d)=φ((a+bi)+(c+di)) OK!
ii) φ((a+bi)(c+di))=φ(ac+adi+bci-bd)=φ(ac-bd+i(ad+bc))=3(ac-bd)+2(ad+bc)=3ac-3bd+2ad+2bc $!=$ φ(a+bi)φ(c+di)=(9ac+6(ad+bc)+4bd)
... problemino...
Signori, cortesemente ricordiamoci di utilizzare il MathML od il TeX.
Grazie.
Grazie.
Possiamo fare vedere che B e A sono isomorfi?
L'isomorfismo $phi:ZZ \to A$ associa al generico elemento degli interi di gauss che possiamo scrivere in modo unico nella forma $(2+3i)k+t$ con k e t appartenenti agli interi di gauss la classe dell'elemento $169k+t$ (classe in A chiaramente). E' un omomorfismo e il nucleo è proprio $(2+3i)$. Anche per la suriettività non dovrebbero esserci problemi.
Se proprio l'isomorfismo vogliamo trovarlo da A a B basta prendere l'inverso di questo isomorfismo.
L'isomorfismo $phi:ZZ \to A$ associa al generico elemento degli interi di gauss che possiamo scrivere in modo unico nella forma $(2+3i)k+t$ con k e t appartenenti agli interi di gauss la classe dell'elemento $169k+t$ (classe in A chiaramente). E' un omomorfismo e il nucleo è proprio $(2+3i)$. Anche per la suriettività non dovrebbero esserci problemi.
Se proprio l'isomorfismo vogliamo trovarlo da A a B basta prendere l'inverso di questo isomorfismo.
Hmh... ma φ:ℤ→A non è un isomorfismo perchè l'applicazione non è iniettiva. Non mi è chiaro come pensi si costruire un isomorfismo da B ad A a partire da φ...
"UgoFoscolo90":
Hmh... ma φ:ℤ→A non è un isomorfismo perchè l'applicazione non è iniettiva. Non mi è chiaro come pensi si costruire un isomorfismo da B ad A a partire da φ...
L'isomorfismo sarà quello che andrà da $ZZ//ker phi\toA$ . Si ha che $ZZ//ker phi$ è proprio $B$, non mi ero spiegato bene.
Bene, sono d'accordo, grazie!
Ho capito... Grazie!
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