Omomorfismo iniettivo e gruppi noti
Dimostrare che dato $n=2^2\cdot 3\cdot 5$ e $m = 2^2+3+5$ esiste un omomorfismo iniettivo dal gruppo ciclico $C_n$ al gruppo simmetrico $S_m$.
(me lo danno proprio così il testo, credo per far notare che $m$ è legato alla fattorizzazione di $n$)
Qualche idea su cui stavo ragionando.
Volevo esplicitamente trovare questo omomorfismo.
Per ogni $x\in C_n$ ho che $\text{ord}(x)|n$, quindi posso scrivere $\text{ord}(x)$ come $2^{v_1}\cdot 3^{v_2}\cdot 5^{v_3}$ con $v_1\in\{0,1,2\},v_2,v_3\in\{0,1\}$. Per ogni $x$ prendo $\bar{x}=2^{v_1}+3^{v_2}+5^{v_3}$ che è $\leq m$ (per sfruttare in qualche modo l'ipotesi riguardo $m$) e vorrei che il mio omomorfismo fosse qualche trasposizione/ciclo che coinvolge $bar{x}$.
Il problema è che una cosa simile non mi sembra nemmeno lontanamente iniettiva e non saprei come altro sfruttare l'ipotesi su $m$ legato alla fattorizzazione di $n$.
(me lo danno proprio così il testo, credo per far notare che $m$ è legato alla fattorizzazione di $n$)
Qualche idea su cui stavo ragionando.
Volevo esplicitamente trovare questo omomorfismo.
Per ogni $x\in C_n$ ho che $\text{ord}(x)|n$, quindi posso scrivere $\text{ord}(x)$ come $2^{v_1}\cdot 3^{v_2}\cdot 5^{v_3}$ con $v_1\in\{0,1,2\},v_2,v_3\in\{0,1\}$. Per ogni $x$ prendo $\bar{x}=2^{v_1}+3^{v_2}+5^{v_3}$ che è $\leq m$ (per sfruttare in qualche modo l'ipotesi riguardo $m$) e vorrei che il mio omomorfismo fosse qualche trasposizione/ciclo che coinvolge $bar{x}$.
Il problema è che una cosa simile non mi sembra nemmeno lontanamente iniettiva e non saprei come altro sfruttare l'ipotesi su $m$ legato alla fattorizzazione di $n$.
Risposte
hint: se $\sigma \in S_m$ e’ prodotto di due cicli disgiunti di lunghezza $k$ ed $l$ con $(k,l)=1$, allora l’ordine di $\sigma$ e’ esattamente $kl$.
Fatto, grazie mille per l'hint!
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