Omomorfismo gruppi di cardinalità 4
Forse, post più banale non ci può essere. Tuttavia , da tempo ho sempre avuto alcuni dubbi su sta' cosa banale.
Il concetto di omomorfismo penso di averlo ben presente, ma trovarlo con mano ho qualche perplessità.
L'esercizio recita cosi.
Siano $G_1={e,a,b,c}$ ,$G_2={e',a',b',c'}$ gruppi con le seguenti tabelle moltiplicative .
Per $G_1$
$ ( ( X_(G_1) , e , a , b , c ),( e , e ,a ,b , c ),( a , a , e , a , b ),( b , b ,c , e , a ),( c , c , b , a , e ) ) $
Per $G_2$
$ ( ( X_(G_2) , e' , a' , b' , c' ),( e' , e' ,a' ,b' , c' ),( a' , a' , b' , c' , e' ),( b' , b' ,c' , e' , a' ),( c' , c' , e' , a' , b' ) ) $.
Trovare tutti gli omomorfismi $f : G_1 -> G_2$ con i loro nuclei.
svolgimento :
Devo trovare alla fine tutte le applicazioni $f : G_1->G_2$ tali che $AA x,y in G_1 : f(x*y)=f(x)*f(y)$
Ragioniamo. In totale , ho $4^4$ applicazioni da $G_1$ in $G_2$. Ma quali tra queste omomorfismi?!
Bene, per prima cosa ho che se $e in G_1$ è neutro di $G_1$ allora , per avere un omomorfismo deve succedere che $f(e)=e'$, ove $e'$ è il neutro di $G_2$
Quindi l'$f$ che cerco è della forma
$f-= ( ( e , a , b , c ),( e' , f(a) , f(b) , f(c) ) ) $.
Ora io farei una breve considerazione sui nuclei. Poiché $Kerf < G_1$ , i papabili $kerf$ sono tutti i sottogruppi di $G_1$. Che risultano essere : $G_1, {e}, {e,a},{e,b},{e,c}$. Quindi posso dire , che posso trovare almeno 5 omomorfismi.
Se $Kerf=G_1 => f-= ( ( e , a , b , c ),( e' , e' , e' , e' ) ) (1)$ ok, ne abbiamo trovato uno è quello banale.
supponiamo $Kerf= {e}$. Ma questo non può succedere. altrimenti $G_1$ sarebbe isomorfo a $G_2$ , ma dalle tabelle moltiplicative si evince chiaramente che non è cosi.
Se $kerf = {e,a} => f-= ( ( e , a , b , c ),( e' , e' , f(b) , f(c) ) )$
E si verifica facilmente che $f(b)=b'$ ed $f(c)=b'$. (confido che ho trovato questi valori un po con il "calcolo", esiste un modo più sicuro e veloce per assegnare tali valori?)
e che quindi $f-= ( ( e , a , b , c ),( e' , e' , b , b ) )$.
Allo stesso modo se $kerf = {e,b}$ ho trovato che $f-=( ( e , a , b , c ),( e' , b', e' , b' ) )$
e che se $Kerf={e,c}$ ho trovato che $f-=( ( e , a , b , c ),( e' , b' , b' ,e' ) )$.
Domanda, secondo voi il modo di inquadrare la questione è corretto?
grazie anticipatamente.
Il concetto di omomorfismo penso di averlo ben presente, ma trovarlo con mano ho qualche perplessità.
L'esercizio recita cosi.
Siano $G_1={e,a,b,c}$ ,$G_2={e',a',b',c'}$ gruppi con le seguenti tabelle moltiplicative .
Per $G_1$
$ ( ( X_(G_1) , e , a , b , c ),( e , e ,a ,b , c ),( a , a , e , a , b ),( b , b ,c , e , a ),( c , c , b , a , e ) ) $
Per $G_2$
$ ( ( X_(G_2) , e' , a' , b' , c' ),( e' , e' ,a' ,b' , c' ),( a' , a' , b' , c' , e' ),( b' , b' ,c' , e' , a' ),( c' , c' , e' , a' , b' ) ) $.
Trovare tutti gli omomorfismi $f : G_1 -> G_2$ con i loro nuclei.
svolgimento :
Devo trovare alla fine tutte le applicazioni $f : G_1->G_2$ tali che $AA x,y in G_1 : f(x*y)=f(x)*f(y)$
Ragioniamo. In totale , ho $4^4$ applicazioni da $G_1$ in $G_2$. Ma quali tra queste omomorfismi?!
Bene, per prima cosa ho che se $e in G_1$ è neutro di $G_1$ allora , per avere un omomorfismo deve succedere che $f(e)=e'$, ove $e'$ è il neutro di $G_2$
Quindi l'$f$ che cerco è della forma
$f-= ( ( e , a , b , c ),( e' , f(a) , f(b) , f(c) ) ) $.
Ora io farei una breve considerazione sui nuclei. Poiché $Kerf < G_1$ , i papabili $kerf$ sono tutti i sottogruppi di $G_1$. Che risultano essere : $G_1, {e}, {e,a},{e,b},{e,c}$. Quindi posso dire , che posso trovare almeno 5 omomorfismi.
Se $Kerf=G_1 => f-= ( ( e , a , b , c ),( e' , e' , e' , e' ) ) (1)$ ok, ne abbiamo trovato uno è quello banale.
supponiamo $Kerf= {e}$. Ma questo non può succedere. altrimenti $G_1$ sarebbe isomorfo a $G_2$ , ma dalle tabelle moltiplicative si evince chiaramente che non è cosi.
Se $kerf = {e,a} => f-= ( ( e , a , b , c ),( e' , e' , f(b) , f(c) ) )$
E si verifica facilmente che $f(b)=b'$ ed $f(c)=b'$. (confido che ho trovato questi valori un po con il "calcolo", esiste un modo più sicuro e veloce per assegnare tali valori?)
e che quindi $f-= ( ( e , a , b , c ),( e' , e' , b , b ) )$.
Allo stesso modo se $kerf = {e,b}$ ho trovato che $f-=( ( e , a , b , c ),( e' , b', e' , b' ) )$
e che se $Kerf={e,c}$ ho trovato che $f-=( ( e , a , b , c ),( e' , b' , b' ,e' ) )$.
Domanda, secondo voi il modo di inquadrare la questione è corretto?
grazie anticipatamente.
Risposte
Sì, a me sembra che la trattazione - conti a parte che non ho controllato - sia corretta ed esaustiva.
Sai mistake, mi verrebbe da azzardare una considerazione .
Siano $G_1,G_2$ gruppi finiti.
sia $f : G_1->G_2$. Allora se $G_1$ ha $n$ sottogruppi, allora esistono (in potenziale) $n$ omorfismi distinti da $G_1 $ in $G_2$. Che ne dici?
Siano $G_1,G_2$ gruppi finiti.
sia $f : G_1->G_2$. Allora se $G_1$ ha $n$ sottogruppi, allora esistono (in potenziale) $n$ omorfismi distinti da $G_1 $ in $G_2$. Che ne dici?
Non è proprio così. Ci sono sottogruppi che non possono essere nuclei per varie questioni - che se conosci il th. fondamentale di omomorfismo è più semplice immaginare-
Quello che puoi dire è che ci possono essere $n$ potenziali nuclei da verificare. Ma a priori non sai se danno luogo ad altrettanti omomorfismi.
Quello che puoi dire è che ci possono essere $n$ potenziali nuclei da verificare. Ma a priori non sai se danno luogo ad altrettanti omomorfismi.
No, non conosco il teorema fondamentale di omomorfismo, non ancora. Studierò questo e molto altro l'anno prossimo con algebra 2... credo.
Grazie per la delucidazione
La mia "proposizione" derivava dall'osservazione di questo caso. E ti ringrazio di avermela corretta
Grazie per la delucidazione
La mia "proposizione" derivava dall'osservazione di questo caso. E ti ringrazio di avermela corretta
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