Omomorfismo di Lie algebra potenza di matrici

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Sia \( \mathbb{F} \) un campo e \( \theta : \mathfrak{gl}_n (\mathbb{F}) \to \mathfrak{gl}_n(\mathbb{F}) \) definita da \( \theta(A)= - A^t \). Dimostra che \( \theta \) è un homomorfismo tra algebre di Lie.
Ho un problemino a dimostrare la \( \mathbb{F} \) linearità di \( \theta \) e pure la condizione che \( \theta([A,B]) = [\theta(A),\theta(B)] \).
Date \(A,B \in \mathfrak{gl}_n (\mathbb{F}) \) e \( \alpha \in \mathbb{F} \) dovrei avere
\[ \theta(\alpha A + B) = -(\alpha A + B)^t = \ldots = \alpha \theta(A) + \theta(B) = -\alpha A^t - B^t \]
solo che mi sembra molto strano ecco. Anche perché
Prendendo ad esempio \( n = 2 \) e \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) e \( t = 2 \) allora ad esempio con
\[ A = \begin{pmatrix}
1 &1 \\
1 & 1
\end{pmatrix} \]
\[ B= I \]
abbiamo che
\[ \theta(2 A + I ) = - \left( \begin{pmatrix}
3 &2 \\
2 & 3
\end{pmatrix} \right)^2 = - \begin{pmatrix}
13 &12 \\
12 & 13
\end{pmatrix} \]
Mentre
\[2 \theta(A) +\theta( I ) = -2 \left( \begin{pmatrix}
1 &1 \\
1 & 1
\end{pmatrix} \right)^2 - \left( \begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \right)^2= - \begin{pmatrix}
5 &4 \\
4 & 5
\end{pmatrix} \]

Quindi cosa vuol dire in questo contesto \( - A^t \) ?? Non capisco.

[solaàl]

Hahahaah! Ma \(t\) non è un numero, è la trasposizione! \(\theta\) manda una matrice nella sua trasposta cambiata di segno.

Questo è di gran lunga il malinteso più surreale che abbia mai visto...

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Sono un pirla... chi sceglierebbe mai come esponente \(t\) quando si parla di matrici? Quella è la trasposta....