Omomorfismo di gruppi
Ciao a tutti, devo trovare tutti gli omomorfismi:
$phi:D_5rarrZZ_10$
Dove $D_5$ è il gruppo diedrale del pentagono.
Essendo r, s generatori del diedrale è chiaro che mi basta determinare la loro immagine, e queste possono essere $phi(r)=0,2,4,6,8$ e $phi(s)=0,5$ perchè l'ordine di $phi(a)$ deve dividere l'ordine di $a$ essendo omomorfismo.
Provando a farlo credo che l'unico sia quello nullo, che ne dite?
$phi:D_5rarrZZ_10$
Dove $D_5$ è il gruppo diedrale del pentagono.
Essendo r, s generatori del diedrale è chiaro che mi basta determinare la loro immagine, e queste possono essere $phi(r)=0,2,4,6,8$ e $phi(s)=0,5$ perchè l'ordine di $phi(a)$ deve dividere l'ordine di $a$ essendo omomorfismo.
Provando a farlo credo che l'unico sia quello nullo, che ne dite?
Risposte
No, mi pare di no; ovviamente gli omomorfismi di gruppi da $G$ a $A$, se $A$ è abeliano, corrispondono agli omomorfismi di gruppi dall'abelianizzato di $G$ ad $A$; detto questo l'abelianizzato di $D_5$ (e di tutti i gruppi $D_n$ con $n$ dispari) è \(C_2\), quindi alla fine devi determinare
\[
\hom_{\sf Gp}(D_5,C_{10}) \cong \hom_{\sf Ab}(C_2,C_{10})
\] che non è zero (per esempio, puoi mandare il generatore $u$ di $C_2$ in $g^5$, se $g$ genera $C_{10}$.)
In effetti sai sempre quant'è \(\hom(C_n,C_m)\)! Giusto?
\[
\hom_{\sf Gp}(D_5,C_{10}) \cong \hom_{\sf Ab}(C_2,C_{10})
\] che non è zero (per esempio, puoi mandare il generatore $u$ di $C_2$ in $g^5$, se $g$ genera $C_{10}$.)
In effetti sai sempre quant'è \(\hom(C_n,C_m)\)! Giusto?
(Disclaimer. Aspetta conferma/smentita da chi ne sa di più, il mio è solo un contributo al ragionamento, ma può essere sbagliato.)
Chiamiamo $\varphi$ un tale omomorfismo. Poichè $D_5$ non è ciclico, è $\varphi{D_5} < ZZ_{10}$ (sottogruppo proprio). Gli unici sottogruppi propri di $ZZ_{10}$ sono ${0}$, ${0,2,4,6,8}$ e ${0,5}$. Nel secondo caso, avrei che elementi di ordine $2$ sono mandati in elementi di ordine $5$, contraddizione. Nel terzo caso, avrei che elementi di ordine $5$ sono mandati in un elemento di ordine $2$, contraddizione. Quindi esiste solo l'omomorfismo banale.
Rettifico: non avevo valutato che si possono mandare gli elementi di ordine $2$ nello $0$ (2° caso) e idem per quelli di ordine $5$ (3° caso).
Chiamiamo $\varphi$ un tale omomorfismo. Poichè $D_5$ non è ciclico, è $\varphi{D_5} < ZZ_{10}$ (sottogruppo proprio). Gli unici sottogruppi propri di $ZZ_{10}$ sono ${0}$, ${0,2,4,6,8}$ e ${0,5}$. Nel secondo caso, avrei che elementi di ordine $2$ sono mandati in elementi di ordine $5$, contraddizione. Nel terzo caso, avrei che elementi di ordine $5$ sono mandati in un elemento di ordine $2$, contraddizione. Quindi esiste solo l'omomorfismo banale.
Rettifico: non avevo valutato che si possono mandare gli elementi di ordine $2$ nello $0$ (2° caso) e idem per quelli di ordine $5$ (3° caso).
"solaàl":
In effetti sai sempre quant'è \(\hom(C_n,C_m)\)! Giusto?
Se non sbaglio è il numero di divisori comuni tra $n,m$
Grazie mille a entrambi
Vorrei un altro aiuto, stavolta devo trovare quanti sono gli omomorfismi:
$phi:Z_12rarrZ_4×S_3$
Con $S_3$ gruppo simmetrico. Sono parecchi stavolta, io ne ho trovati 16
Per la proprietà universale del prodotto,
\[
{\sf Gp}(\mathbb{Z}/12, \mathbb{Z}/4,S_3)\cong {\sf Gp}(\mathbb{Z}/12, \mathbb{Z}/4)\times {\sf Gp}(\mathbb{Z}/12,S_3)
\] e adesso devi solo determinare i due pezzi; del resto, il secondo pezzo è determinato dall'immagine di un generatore, perché \(\mathbb{Z}/12\) è ciclico, e l'elemento immagine deve avere periodo...
\[
{\sf Gp}(\mathbb{Z}/12, \mathbb{Z}/4,S_3)\cong {\sf Gp}(\mathbb{Z}/12, \mathbb{Z}/4)\times {\sf Gp}(\mathbb{Z}/12,S_3)
\] e adesso devi solo determinare i due pezzi; del resto, il secondo pezzo è determinato dall'immagine di un generatore, perché \(\mathbb{Z}/12\) è ciclico, e l'elemento immagine deve avere periodo...
"solaàl":
Per la proprietà universale del prodotto,
\[
{\sf Gp}(\mathbb{Z}/12, \mathbb{Z}/4,S_3)\cong {\sf Gp}(\mathbb{Z}/12, \mathbb{Z}/4)\times {\sf Gp}(\mathbb{Z}/12,S_3)
\] e adesso devi solo determinare i due pezzi; del resto, il secondo pezzo è determinato dall'immagine di un generatore, perché \(\mathbb{Z}/12\) è ciclico, e l'elemento immagine deve avere periodo...
Deve avere periodo che divide quello del generatore... quindi posso mandare 1 in una delle 3 trasposizioni (che hanno periodo 2) o in uno dei due 3-cicli che hanno periodo 3 o ovviamente nell'identità. Dunque ho $3*6=18$ omomorfismi... dico bene?
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