Omomorfismo di anelli tra estensioni di campi
Devo elencare le possibili immagini degli omomorfismi di anelli tra $QQ(5^(1/6))$ e l'insieme dei numeri algebrici su $QQ$.
L'omorfismo manda $1$ in $1$ e quindi è l'identità su $QQ$; $5^(1/6)$ dovrà andare in una delle radici del polinomio $x^6-5$ che sono $5^(1/6), -5^(1/6), \frac(-5^(1/6)+sqrt(3)i5^(1/6)) (2)$, la sua opposta, $\frac(-5^(1/6)-sqrt(3)i5^(1/6)) (2)$ e la sua opposta.
Se $5^(1/6)$ va in una delle prime due radici il campo immagine è $QQ(5^(1/6))$ , mentre se va nelle altre il campo immagine è $QQ(\frac(5^(1/6)+sqrt(3)i5^(1/6)) (2))$ e $QQ(\frac(5^(1/6)-sqrt(3)i5^(1/6)) (2))$. Mi rimane solamente da provare che se sono uguali o meno ma non so bene come fare.
L'omorfismo manda $1$ in $1$ e quindi è l'identità su $QQ$; $5^(1/6)$ dovrà andare in una delle radici del polinomio $x^6-5$ che sono $5^(1/6), -5^(1/6), \frac(-5^(1/6)+sqrt(3)i5^(1/6)) (2)$, la sua opposta, $\frac(-5^(1/6)-sqrt(3)i5^(1/6)) (2)$ e la sua opposta.
Se $5^(1/6)$ va in una delle prime due radici il campo immagine è $QQ(5^(1/6))$ , mentre se va nelle altre il campo immagine è $QQ(\frac(5^(1/6)+sqrt(3)i5^(1/6)) (2))$ e $QQ(\frac(5^(1/6)-sqrt(3)i5^(1/6)) (2))$. Mi rimane solamente da provare che se sono uguali o meno ma non so bene come fare.
Risposte
Chiama le radici $a\cdot \zeta_6^i$, con $i=0,..,5$, con $\zeta_6=(1+isqrt(3))/2$ e $a=5^(1/6)$. Hai tre estensioni di campi immagine : $QQ(a)$ , $ QQ(\zeta_6a)=QQ(\zeta_6^4a)$, $ QQ(\zeta_6^2a)=QQ(\zeta_6^5a)$.
Il primo è diverso dagli altri due perchè è contenuto in $RR$ e gli altri no, e il secondo e il terzo sono diversi perchè se fossero uguali, $a\zeta_6^2$ starebbe in $QQ(a\zeta_6)$, e quindi anche $(a\zeta_6^2)/(a\zeta_6)=\zeta_6 $ starebbe in $QQ(a\zeta_6)$, e quindi ancora $a=5^(1/6)$ starebbe in $QQ(a\zeta_6)$, da cui $QQ(a)\subseteqQQ(a\zeta_6)$. Ma $QQ(a)$ e $QQ(a\zeta_6)$ hanno entrmabe grado $6$ su $QQ$, e dunque sono la stessa estensione. In particolare $(a\zeta_6) /a=\zeta_6 in QQ(a)$, assurdo perchè $QQ(a)$ è reale mentre $QQ(\zeta_6)$ non lo è.
Il primo è diverso dagli altri due perchè è contenuto in $RR$ e gli altri no, e il secondo e il terzo sono diversi perchè se fossero uguali, $a\zeta_6^2$ starebbe in $QQ(a\zeta_6)$, e quindi anche $(a\zeta_6^2)/(a\zeta_6)=\zeta_6 $ starebbe in $QQ(a\zeta_6)$, e quindi ancora $a=5^(1/6)$ starebbe in $QQ(a\zeta_6)$, da cui $QQ(a)\subseteqQQ(a\zeta_6)$. Ma $QQ(a)$ e $QQ(a\zeta_6)$ hanno entrmabe grado $6$ su $QQ$, e dunque sono la stessa estensione. In particolare $(a\zeta_6) /a=\zeta_6 in QQ(a)$, assurdo perchè $QQ(a)$ è reale mentre $QQ(\zeta_6)$ non lo è.
Grazie mille!!
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