Omomorfismo di anelli: $f:R->R'$ implica $f(1)=1'$?

[jellybean22]

Buona sera a tutti. Per studiare algebra generalmente utilizzo due libri di testo: il ben noto Topics in Algebra di Herstein e Advanced Modern Algebra di J.J. Rotman. Sto studiando gli omomorfismi di anelli ed in particolare ho trovato una differenza.
Sia $f:R->R'$ omomorfismo di anelli allora $f(1)$ non è necessariamente uguale ad $1'$ (Herstein); $f(1)=1'$ (Rotman).
Se entrambe le asserzioni sono vere (come sicuramente sarà) su cosa devo basarmi per scegliere la corretta?

Grazie a tutti.

[Guido Rocco]

Credo l'Herstein abbia ragione. Se consideri l'anello $ A={( ( a , 0 ),( 0 , 0 ) ) : a in R} $ con le usuali operazioni di somma e prodotto matriciale , l'omomorfismo $ f:A rarr R^(2,2) $ che manda la generica matrice M di A in se stessa è un omomorfismo di anelli, ma l'unità di A (ovvero $ ( ( 1 , 0),( 0 , 0 ) ) $ non coincide con l'unità di $ R^(2,2) $ (ovvero la matrice identica). L'equivalenza $ f(1)= 1^(A^{\prime}) $ si ha solo se f è suriettiva, o se l'anello da cui parti è un dominio di integrità.
Ciò che puoi sempre dire, comunque, è che $f(1)$ è idempotente

[jellybean22]

Sull'idempotenza mi ritrovo . E se invece ci trovassimo in un omomorfismo tra anelli commutativi la risposta rimarrebbe comunque la stessa?

[_fabricius_1]

Sì, è la stessa.
Infatti puoi definire un omomorfismo tra $ZZ_3$ e $ZZ_12$ mandando:
$[0]_3 rarr [0]_12$
$[1]_3 rarr [4]_12$
$[2]_3 rarr [8]_12$

[j18eos]

Più in generale: se hai delle strutture algebriche con elemento neutro (e.g. anelli unitari) \(\mathbb{A}\) e \(\mathbb{B}\), un omomorfismo \(f:\mathbb{A}\to\mathbb{B}\) non trasforma obbligatoriamente l'elemento neutro \(1_{\mathbb{A}}\) in \(1_{\mathbb{B}}\); a meno che \(f\) non sia un epimorfismo.

Però, testi specializzati preferiscono assumere che gli omomorfismi di strutture algebriche unitarie preservano gli elementi neutri!

[jellybean22]

Grazie a tutti