Omomorfismo
Sia $\phi$ : $\mathbb{G}$ $\Rightarrow$ $\mathbb{H}$ un omomorfismo di gruppi. Si dimostri che per ogni $\mathbb{g} \in \mathbb{G}$ e per ogni $\mathbb{n} \in \mathbb{Z}$ risulta $\phi(\mathbb{g}^\mathbb{n})$ = $\phi(\mathbb{g})^\mathbb{n}$
Grazie in anticipo.
Grazie in anticipo.
Risposte
Hint : Induzione su $n$?
Distingui due casi , se $n>0$ devi provare che $AA g \in G$$\phi(g^n)=\phi(g)^n$(1)
Se $n<0$ allora $EE k \in NN t.c n=-k$ , devi provare allora che $\phi((g^(-1))^k)=\phi(g^-1)^k$
Fatta questa osservazione, il caso $n<0$ è già contenuto nel caso $n>0$. Sapresti dire perché? Dunque ti è sufficiente provare (1).
Distingui due casi , se $n>0$ devi provare che $AA g \in G$$\phi(g^n)=\phi(g)^n$(1)
Se $n<0$ allora $EE k \in NN t.c n=-k$ , devi provare allora che $\phi((g^(-1))^k)=\phi(g^-1)^k$
Fatta questa osservazione, il caso $n<0$ è già contenuto nel caso $n>0$. Sapresti dire perché? Dunque ti è sufficiente provare (1).
Perchè $-k = n$? Quindi $\phi((g^-1)^k) = \phi(g^-1)^k $ è come scrivere $\phi(g^n)=\phi(g)^n$
sì
ok capito e come dimostro la (1)?
Per induzione su $n$.
E cioè?
Devi dimostrare utilizzando il principio di induzione, possibile che non lo conosci?
Per definizione di omomorfismo hai che:
$ phi(ab)=phi(a)phi(b)$
Quindi:
$ phi(a^n)= phi(a*a*...*a)= phi(a)*phi(a)*...*phi(a)= phi(a)^n.$
$ phi(ab)=phi(a)phi(b)$
Quindi:
$ phi(a^n)= phi(a*a*...*a)= phi(a)*phi(a)*...*phi(a)= phi(a)^n.$
"Maci86":
Per definizione di omomorfismo hai che:
$ phi(ab)=phi(a)phi(b)$
Quindi:
$ phi(a^n)= phi(a*a*...*a)= phi(a)*phi(a)*...*phi(a)= phi(a)^n.$
Cosa ti autorizza a passare dalla seconda alla terza uguaglianza?
La Tua (o forse Sua è più giusto
) dimostrazione per induzione, che, di solito, viene assunta per vera senza dimostrarla ogni volta
Fondamentalmente per mia pigrizia, direi!

