Omomorfismi fra gruppi

[perplesso1]

Provare che i gruppi $ (Q,+) $ e $ (Q\\{0},*) $ non sono isomorfi.

Suppongo che dovrei mostrare che se esiste un omomorfismo fra i due gruppi questo non è biettivo. Oppure che ogni applicazione biettiva fra i due gruppi non è un omomorfismo. Purtroppo non riesco a fare nessuna delle due cose, mi date un aiutino? Grazie mille

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"perplesso":Provare che i gruppi $ (Q,+) $ e $ (Q\\{0},*) $ non sono isomorfi.

Che è un po' come dire che estrarre una radice quadrata è un po' più difficile che dividere per due

[perplesso1]

Forse ho capito... supponiamo che esista un isomorfismo f allora $ f(n/2)=f(n-n/2)=f(n)f(-n/2)=f(n)f(n/2)^{-1} $ e quindi $ f(n/2)^{2}=f(n) $ ma per la surriettività di f esiste un n tale che f(n) non sia il quadrato di qualche numero razionale perciò si è arrivati ad un assurdo, giusto?

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Giusto.

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Rilancio: dimostrare che se [tex]K[/tex] è un qualunque campo allora i gruppi [tex](K,+)[/tex] e [tex](K-\{0\},\cdot)[/tex] non sono isomorfi.

[Mrhaha]

Il problema è che non sappiamo se è lecito parlare di divisione giusto?

[vict85]

"Mrhaha":Il problema è che non sappiamo se è lecito parlare di divisione giusto?

È un campo. Sai esattamente quando è lecito e quando non lo è... Quindi usa questo fatto.

[Richard_Dedekind]

Supponiamo che \(1,0\) siano gli elementi identici rispettivamente di \((K\setminus \{0\},\cdot)\) e \((K,+)\). Se esistesse un isomorfismo \(f:K\setminus\{0\}\longrightarrow K\) allora si dovrebbe avere che
\[f((-1)^2)=f(1)=0=2f(-1)\]
Avremmo trovato quindi che \(\ker f\supseteq \{1,-1\}\), ossia che \(f\) non è iniettivo, cosa assurda.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Sì, mancherebbe da discutere il caso di caratteristica pari (per non dire due ).

[Mrhaha]

Maledetti questi campi di caratteristica 2!