Omomorfismi ed isomorfismi
salve a tutti stavo leggendo un pò di esercizi quando ad un certo punto leggo uno che fa :determinare tutti gli omomorfismi tra due gruppi dati dal problema. Sono caduto subito in confusione perchè io immaginavo gli omomorfismi come applicazioni a piacere che conservassero la determinata struttura della defiinizione di omomorfismo e quindi pensavo che potessero essere infiniti visto che dipendevano dalla funzione scelta a piacere.....ma allora dove ho sbagliato ad immaginare?...scusate la confusione
Risposte
Se due insiemi sono finiti, il numero delle funzioni dal primo nel secondo è finito. Probabilmente i due gruppi assegnati erano gruppi finiti... Comunque starebbe meglio in algebra...
e come faccio a determinare gli omomorfismi da S3->Z6???
Devi determinare tutti i possibili nuclei di $S_3$ ovvero i suoi sottogruppi normali.
perchè i nuclei coincidono con i sottogrupi normali? e come faccio a determnare i nuclei se non so qual'è applicazione?
[mod="Martino"]Spostato in algebra. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/mod]
scusa ma non ho capito...
Infatti è in base ai nuclei che determini i possibili omomorfismi. Ad esempio ${1}$ è un sottogruppo normale di $S_3$. Esiste un omomorfismo che abbia tale sottogruppo come nucleo? Se esistesse sarebbe un isomorfismo, quindi avremmo che $S_3$ è un gruppo ciclico, al pari di $ZZ_6$ ma questo è evidentemente assurdo. Quindi con quel nucleo non ci possono essere omomorfismi.
E così via!
E così via!
ne approfitto allora per chiederti un'altra cosa, quando si dice che un gruppo è isomorfo ad un altro, posso "sostiutuire" il gruppo di partenza e ragionare sul suo gruppo isomorfo e considerarli identici?
Sì, due gruppi isomorfi hanno le medesime proprietà
e basta dimostrare che due gruppi sono isomorfi secondo un'applicazione per dire che sono isomorfi, oppure bisogna dire che sono isomorfi in quel caso di quella determinata applicazione?
Due gruppi sono isomorfi se esiste un isomorfismo tra i due. Se la esibisci tanto di guadagnato (sopratutto se non è canonico)!
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