Omomorfismi e gruppo quoziente

[mafantuz]

salve a tutti, scusate per la banalità ma non riesco a capire perchè dato un omomorfismo $ varphi : G rarr H $ mi si dice che l'insieme dell classi laterali $ G // ker varphi $ è l'insieme quoziente rispetto alla solita relazione $ ~ $ tale che per $ x in G $ , $ y in H $, $ x~y $ sse $ x^-1y in H $.

io ho pensato questo: l'insieme $ G // ker varphi $ è la partizione di $ G $ modulo la relazione di appartenenza a $ ker varphi $, quindi $ g,g' in kervarphi $ sse $ varphi(g)=varphi(g')=1_H $. ma questo significa che $ varphi(g)(varphi(g'))^-1=1_H $ cioè $ varphi(g(g')^-1)=1_H $, dunque $ (g(g')^-1)=1_G $ e finalmente $ g~g' $.

ha senso? non saprei in che altro modo farlo saltar fuori...

grazie.

[Pappappero1]

C'è da dire qualcosa di più. Se $a,b \in G$ tali che $\phi(a) = \phi(b)$ (anche senza essere entrambi in $\ker \phi$, quindi senza che $\phi(a) = \phi(b) = 1$, ottieni comunque che \(\phi(ab^{-1}) =1\), e quindi $a ~ b$ secondo la relazione di appartenenza a $\ker \phi$ (se così la vogliamo chiamare).