Omomorfismi di Z in Z

[nelly91-votailprof]

Salve a tutti!
Avrei bisogno di un aiuto riguardo al seguente esercizio:
Sia $ ZZ $ il gruppo additivo degli interi. Determinare tutti gli omomorfismi f: $ ZZ -> ZZ $.

[Paolo902]

Ciao.

Hai qualche idea tua? Tanto per cominciare, $ZZ$ additivo è ciclico, generato da $+1$ e $-1$. Quindi, per dare un omomorfismo ti basta definire l'immagine di...

[nelly91-votailprof]

devo considerare l'immagine di +1 e -1? e poi quindi cosa posso affermare?

[vict85]

"N3lly":devo considerare l'immagine di +1 e -1? e poi quindi cosa posso affermare?

Considerando che $f(-a) = -f(a)$ per ogni omomorfismo direi che ti basta l'immagine di $1$ ... Inoltre essendo $f$ un omomorfismo sai che $f(n) = f(n1) = nf(1)$ perché $n = n1$ (dove nel primo caso $n$ è un elemento e nell'altro segna l'ennesimo multiplo).

Dopo tutto questo sai che $f$ è totalmente determinata dall'immagine di $1$ (o equivalentemente di $-1$ ma mi sembra più sensato considerare l'$1$). Quante immagini diverse può avere $1$? Ci sono restrizioni o può essere un qualsiasi elemento di $ZZ$?

[nelly91-votailprof]

Grazie!