Omomorfismi di gruppi

[anto_zoolander]

ho un dubbio che al momento non riesco a colmare.

dati $(G,phi)$ e $(G',varphi)$ gruppi e $f:G->G'$ omomorfismo(pongo $Ker(f)=K$), allora $[K]=| Im(f) |$
NB: denoto con $x'$ l'inverso di $x$

chiaramente $Kx={g inG:phi(g,x') inKer(f)}={g inG: f(phi(g,x'))=e_(G')}$

essendo $f$ omomorfismo si ha $e_(G')=f(phi(g,x'))=varphi(f(g),f(x'))=varphi(f(g),f(x)') => f(g)=f(x)$

pertanto $Kx={g inG:f(x)=f(g)}=f^(leftarrow)({f(x)})$
Quindi il laterale destro del nucleo rispetto a $x$ coincide con la fibra di $f(x)$ da questo

$bigcup_(x inG)K_x=bigcup_(x inG)f^(leftarrow)({f(x)})=f^(leftarrow)(Im(f))$

chiaramente $bigcup_(x inG)K_x$ non è altro che l'insieme dei laterali destri modulo il nucleo(ma anche $G$ stesso) da cui si ottiene che

$o(bigcup_(x inG)K_x)=[K]=|f^(leftarrow)(Im(f))|$

cosa sbaglio?

[Lao_Dan]

Quello che tu denoti con \([K]\) dovrebbe in realtà essere denotato \([G]\): la notazione \([H]\) indica l'indice di un sottogruppo \(K \le H\), e scrivendo quel che hai scritto ne hai invece scambiato i ruoli. (te lo dico soprattutto perché tutti usano la notazione \([\text{gruppo grosso} : \text{gruppo piccolo}]\), e se tu non lo fai rischi di non far capire cosa dici o di dire castronerie.

Detto questo, la cosa si dimostra sostanzialmente allo stesso modo del primo teorema di isomorfismo, perché ne è una riformulazione, rammentando che la cardinalità del quoziente \(G/K\) è pari all'indice di \(K\) in \(G\), e che \(G/K\) è a sua volta isomorfo a \(\text{im }f\).

[anto_zoolander]

Lì scambierò

La dimostrazione non prevede l’utilizzo di quozienti e isomorfism, ahimè, in quel modo mi era noto.