Omomorfismi di gruppi
Ciao ragazzi, scusate se vi disturbo.
Ho bisogno di chiedervi un aiuto grande, grande: faccio matematica e mi mancano 2 esami alla laurea, uno di questi è l'esame di Algebra 2 (che è praticamente una teoria di gruppi)
Ho grandissimi problemi con molti esercizi perché non capisco come iniziare i ragionamenti.
Volevo proporvi questo esercizio (che mi sembra abbastanza banale ma essendo troppo generale non so da dove partire)
[size=150] Sia G un gruppo finito. Determinare tutti i possibili omomorfismi di G in Z.[/size]
So cosa è un omomorfismo ma il problema è: da dove parto con il ragionamento il mio obbiettivo è determinare tutte le possibili funzioni che abbiano una certa caratteristica (quella che caratterizza gli omomorfismi) ma... la mente oltre a questo non arriva!!
Ho bisogno di chiedervi un aiuto grande, grande: faccio matematica e mi mancano 2 esami alla laurea, uno di questi è l'esame di Algebra 2 (che è praticamente una teoria di gruppi)
Ho grandissimi problemi con molti esercizi perché non capisco come iniziare i ragionamenti.
Volevo proporvi questo esercizio (che mi sembra abbastanza banale ma essendo troppo generale non so da dove partire)
[size=150] Sia G un gruppo finito. Determinare tutti i possibili omomorfismi di G in Z.[/size]
So cosa è un omomorfismo ma il problema è: da dove parto con il ragionamento il mio obbiettivo è determinare tutte le possibili funzioni che abbiano una certa caratteristica (quella che caratterizza gli omomorfismi) ma... la mente oltre a questo non arriva!!
Risposte
Dimostra che l'unico e' l'omomorfismo costante in $0$.
Comincia a valutare le possibili immagini dei singoli elementi considerando il loro ordine.
Beh $G$ è finito, quindi ha un elemento $g \in G$ di ordine finito $n$. Supponiamo che ci sia un omomorfismo $\phi :G \to \mathbb{Z}$ diverso da quello banale, allora...
Ahhhhh, mi era sfuggita l'ipotesi che il gruppo fosse finito. C'era qualcosa che non mi tornava in effetti della risposta di killing_buddha, ora ha perfettamente senso.
"Shocker":
Beh $G$ è finito, quindi ha un elemento $g \in G$ di ordine finito $n$. Supponiamo che ci sia un omomorfismo $\phi :G \to \mathbb{Z}$ diverso da quello banale, allora...
Dopo vi scrivo quello che ho provato a cavare fuori, ma non so se è corretto!
Io ho ragionato costruendo proprio un omomorfismo che associa ogni elemento di G un sottogruppo di Z.
Dopo vi faccio vedere, ora non riesco.
Io ho ragionato costruendo proprio un omomorfismo che associa ogni elemento di G un sottogruppo di Z.
Ho il sentore che l'errore sara' qui
"killing_buddha":Io ho ragionato costruendo proprio un omomorfismo che associa ogni elemento di G un sottogruppo di Z.
Ho il sentore che l'errore sara' qui
Spero non ci sia l'errore, questo è quanto ho pensato:
$ | G | = n $
sia
$ f : G -> ( Z , + ) $
la quale è definita così:
$ 1 -> 0 $
$ x ->
ed ho verificato l'uguaglianza $ f(ab) = f(a)+f(b) $
Con ciò dico la verità che non ho riesco mai capire quale sia il punto di partenza di TUTTI gli esercizi di algebra, difficilmente riesco a capire il ragionamento.
Quindi vi chiedo gentilmente se riuscite oltre a dirmi la soluzione dove ho sbagliato a ragionare in questa soluzione che ho trovato!
Grazie Mille
Aggiornamento: forse mi son reso conto della cavolata che ho scritto.. come faccio quindi?
\(g^{\text{ord}(g)}\) fa 1 in $G$, ma allora ogni omomorfismo $f : G \to \mathbb Z$ e' tale che $0=f(g^n)=nf(g)$, ora pero' (siccome $n$ non puo' essere zero) $f(g)$ deve essere zero. Siccome questo vale per ogni $g$, $f$ e' zero.
"killing_buddha":
\(g^{\text{ord}(g)}\) fa 1 in $G$, ma allora ogni omomorfismo $f : G \to \mathbb Z$ e' tale che $0=f(g^n)=nf(g)$, ora pero' (siccome $n$ non puo' essere zero) $f(g)$ deve essere zero. Siccome questo vale per ogni $g$, $f$ e' zero.
Grazie Mille ora ho capito!!!
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