Omomorfismi di gruppi
Buonasera,
oggi ho sostenuto un esame algebra in cui c'era un esercizio che diceva
"Sia $f:G->H$ un omomorfismo di gruppi. E' sempre vero che f manda il centro di G nel centro di H? Dimostrarlo o darne un controesempio."
Ora io ho interpretato il testo dell'esame in questo modo: presi due gruppi G e H tutti gli omomorfismi tra questi devono mandare il centro del primo nel centro dell'altro, quindi ho risolto in questo modo.
L'asserto e' falso perche' prendendo $G=Z_6$ e $H=S_3$ ho un omomorfismo non banale che manda $0,2,4->(1)$ mentre $1,3,5->(12)$ o qualsiasi duo-ciclo. A questo punto questo e' un omomorfismo. In $G=Z_6$ tutti gli elementi appartengono al centro perche' e' commutativo, mentre in $H=S_3$ solo (1) appartiene al centro quindi ho elementi del centro di G che non vanno in elementi del centro di H.
Molti miei compagni invece sostengono che questa affermazione sia vera in quanto basta trovare un omomorfismo tra quelli tra due gruppi in cui questo sia vero e naturalmente l'omomorfismo e' quello banale. voi che ne pensate? Il mio ragionamento puo' essere giusto o sono completamente fuori strada??
oggi ho sostenuto un esame algebra in cui c'era un esercizio che diceva
"Sia $f:G->H$ un omomorfismo di gruppi. E' sempre vero che f manda il centro di G nel centro di H? Dimostrarlo o darne un controesempio."
Ora io ho interpretato il testo dell'esame in questo modo: presi due gruppi G e H tutti gli omomorfismi tra questi devono mandare il centro del primo nel centro dell'altro, quindi ho risolto in questo modo.
L'asserto e' falso perche' prendendo $G=Z_6$ e $H=S_3$ ho un omomorfismo non banale che manda $0,2,4->(1)$ mentre $1,3,5->(12)$ o qualsiasi duo-ciclo. A questo punto questo e' un omomorfismo. In $G=Z_6$ tutti gli elementi appartengono al centro perche' e' commutativo, mentre in $H=S_3$ solo (1) appartiene al centro quindi ho elementi del centro di G che non vanno in elementi del centro di H.
Molti miei compagni invece sostengono che questa affermazione sia vera in quanto basta trovare un omomorfismo tra quelli tra due gruppi in cui questo sia vero e naturalmente l'omomorfismo e' quello banale. voi che ne pensate? Il mio ragionamento puo' essere giusto o sono completamente fuori strada??
Risposte
Secondo me hai ragione tu.
Infatti, nella domanda c'e' la parola "sempre".
Infatti, nella domanda c'e' la parola "sempre".
Quello tuo non è un omomorfismo, tuttavia un omomorfismo da $S_3$ a $ZZ//(6)$ che manda il centro nel centro cioè $(1)$ in $ZZ//(6)$, non esiste.
"dan95":
Quello tuo non è un omomorfismo, tuttavia un omomorfismo da $S_3$ a $ZZ//(6)$ che manda il centro nel centro cioè $(1)$ in $ZZ//(6)$, non esiste.
Ho avuto la conferma, il mio ragionamento fila e quello e' un omomorfismo, piuttosto credo che con il tuo esempio non si arrivi ad una confutazione. Si richiede infatti di un esempio di omomorfismo che non manda il centro nel centro ma da $S_3$ in $ZZ//(6)$ hai che il centro del primo cioe' $(1)$ viene mandato nel centro di $ZZ//(6)$ perche' qualsiasi elemento di quest'ultimo si trova nel centro.
Sì scusa, è un omomorfismo avevo calcolato male.
Non manda $\text{Id}$ in $ZZ//(6)$, gli omomorfismi da $S_3$ a $ZZ//(6)$ sono 2 quello nullo e quello con $\text{ker}=A_3$
Non manda $\text{Id}$ in $ZZ//(6)$, gli omomorfismi da $S_3$ a $ZZ//(6)$ sono 2 quello nullo e quello con $\text{ker}=A_3$
Comunque l'importante è che hai fatto giusto
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