Omomorfismi di gruppi

[LucaSanta93]

Salve a tutti, ho un piccolo problema con un esercizio di algebra.
Mi viene chiesto di determinare quali sono gli omomorfismi di gruppi tra (Z6,+)--->(Z8,+), e per ciascuno di essi di scrivere esplicitamente la legge. Ora ho bene a mente quale sia la definizione di omomorfismo di gruppi, in questo caso sono entrambi additivi, quindi è anche più semplice, ma non ho la minima idea di come riuscire a stabilire tutti gli omomorfismi presenti.
Spero in un vostro aiuto, grazie mille in anticipo!!

[Epimenide93]

Ricorda che l'immagine tramite omeomorfismo di un gruppo è ancora un gruppo. Tenendo conto di ciò, ti viene in mente qualcosa?

[LucaSanta93]

L'immagine di (Z6,+) tramite l'omomorfismo deve essere un gruppo ok, ma comunque non capisco in che modo posso costrurmi tutti i possibili omomorfismi presenti; anche perchè presi ad esempio 2,4 in Z6 la loro somma è zero e quindi f(2+4)=0 è diverso da f(2)+f(4) che in Z8 è 6. O sbaglio proprio il ragionamento??

[Epimenide93]

"LucaSanta93":L'immagine di (Z6,+) tramite l'omomorfismo deve essere un gruppo

Un gruppo, contenuto in \(\displaystyle \mathbb{Z}_8 \), ovvero un sottogruppo di \(\displaystyle \mathbb{Z}_8 \).

"LucaSanta93":ok, ma comunque non capisco in che modo posso costrurmi tutti i possibili omomorfismi presenti;

Dovresti sapere come sono fatti i sottogruppi di un generico \(\displaystyle \mathbb{Z}_n \)...

"LucaSanta93":anche perchè presi ad esempio 2,4 in Z6 la loro somma è zero e quindi f(2+4)=0 è diverso da f(2)+f(4) che in Z8 è 6. O sbaglio proprio il ragionamento??

Beh, direi di sì, così dimostri soltanto che l'inclusione \(\displaystyle x \mapsto x \) non è un omomorfismo, una funzione \(\displaystyle f : \mathbb{Z}_6 \rightarrow \mathbb{Z}_8 \) per essere un omomorfismo dovrà (anche) essere tale che \(\displaystyle f(2) + f(4) = 0 \). Prova a riguardare un po' di definizioni.