Omomorfismi di gruppi
Salve a tutti.
Avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio. Purtroppo non so proprio da dove cominciare.
Sia f(a) = a^2 funzione definita dal gruppo additivo (R,+) a sè stesso. Sia poi g(a) = 2^a funzione definita dal gruppo additivo (R,+) al gruppo moltiplicativo (R*,∙). Quali di queste funzioni sono omomorfismi di gruppi?
Avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio. Purtroppo non so proprio da dove cominciare.
Sia f(a) = a^2 funzione definita dal gruppo additivo (R,+) a sè stesso. Sia poi g(a) = 2^a funzione definita dal gruppo additivo (R,+) al gruppo moltiplicativo (R*,∙). Quali di queste funzioni sono omomorfismi di gruppi?
Risposte
$f(a+b)$ è uguale a $f(a)+f(b)$ per ogni $a,b in RR$?
Direi proprio di no: $f(a+b)=(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$, mentre $f(a)+f(b)=a^2+b^2$
Quindi $f(a+b)=f(a)+f(b)<=> a^2+b^2+2ab=a^2+b^2 <=> 2ab=0 $ e quest'ultima relazione non vale per ogni $a,b in RR$ (anzi, non vale quasi mai, vale solo quando $a=0 vv b=0$)
Direi proprio di no: $f(a+b)=(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$, mentre $f(a)+f(b)=a^2+b^2$
Quindi $f(a+b)=f(a)+f(b)<=> a^2+b^2+2ab=a^2+b^2 <=> 2ab=0 $ e quest'ultima relazione non vale per ogni $a,b in RR$ (anzi, non vale quasi mai, vale solo quando $a=0 vv b=0$)
Quindi nessuna di queste funzioni è un omomorfismo di gruppi?
Ma vuoi solo la risposta nuda e cruda o ti frega qualcosa di capire l'esercizio?
nono,mi piacerebbe anche capirci qualcosa
Ok, allora mi fai vedere i conti che hai fatto per capire se $g$ è un omomorfismo da $(RR,+)$ a $(RR^{text{*}},*)$?
E' proprio questo il problema,non so proprio da dove cominciare.
Non è che ci sia molto da fare, devi semplicemente controllare che la funzione soddisfi la definizione di omomorfismo..
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