Omomorfismi da $ZZ_(27)$ a $ZZ_(12)$
L'esercizio è quello da titolo: "Determinare tutti gli omomorfismi da $ZZ_27$ a $ZZ_12$ e dire quanti sono suriettivi".
Ho già provato a risolverlo, ma essendo ancora un pò dubbioso sugli omomorfismi tra gruppi volevo chiedere conferma...
Poichè $ZZ_27 = <1>$, sarà sufficiente descrivere $f(1)$ affinchè, per le proprietà di omomorfismo, sia descritta tutta l'applicazione. Supponiamo quindi $f(1) = n$ e vediamo cosa può essere questo $n$.
Affinchè $f$ sia ben definita, poichè $1 = 1 +27k$ in $ZZ_(27)$, deve essere in $ZZ_(12)$, $\forall k$, $n = f(1) = f(1 +27k) = n +27nk$ ovvero $12|27nk \rarr 4|n$ quindi tutti e soli gli omomorfismi sono:
$f_1(k) = 0$
$f_2(k) = 4k$
$f_3(k) = 8k$
Ora, affinchè un omomorfismo sia suriettivo, condizione necessaria (e sufficiente?) è che i generatori di $ZZ_27$ vengano mandati nei generatori di $ZZ_12$, ma nessuno dei 3 precedenti omomorfismi manda $1$, generatore di $ZZ_(27)$, in un generatore di $ZZ_(12)$ quindi non esistono omomorfismi suriettivi.
Qualunque consiglio su errori di sostanza o formale è gradito
Ho già provato a risolverlo, ma essendo ancora un pò dubbioso sugli omomorfismi tra gruppi volevo chiedere conferma...
Poichè $ZZ_27 = <1>$, sarà sufficiente descrivere $f(1)$ affinchè, per le proprietà di omomorfismo, sia descritta tutta l'applicazione. Supponiamo quindi $f(1) = n$ e vediamo cosa può essere questo $n$.
Affinchè $f$ sia ben definita, poichè $1 = 1 +27k$ in $ZZ_(27)$, deve essere in $ZZ_(12)$, $\forall k$, $n = f(1) = f(1 +27k) = n +27nk$ ovvero $12|27nk \rarr 4|n$ quindi tutti e soli gli omomorfismi sono:
$f_1(k) = 0$
$f_2(k) = 4k$
$f_3(k) = 8k$
Ora, affinchè un omomorfismo sia suriettivo, condizione necessaria (e sufficiente?) è che i generatori di $ZZ_27$ vengano mandati nei generatori di $ZZ_12$, ma nessuno dei 3 precedenti omomorfismi manda $1$, generatore di $ZZ_(27)$, in un generatore di $ZZ_(12)$ quindi non esistono omomorfismi suriettivi.
Qualunque consiglio su errori di sostanza o formale è gradito
Risposte
Si, metto un modo più generale.
$12$ non divide $27$ e quindi sicuramente non esistono omomorfismi suriettivi.
$ZZ_{27}$ ha un sottogruppo di ordine 27 (generato da tutti i numeri che non sono multipli di 3), un sottogruppo di ordine 9 (generato da tutti i multipli di 3 che non sono multipli di 9), uno di ordine 3 (generato da 9 e 18) e ovviamente il sottogruppo banale. I quoziente sono isomorfi rispettivamente a $\{0\}$, $ZZ_3$, $ZZ_9$ e $ZZ_27$.
$ZZ_{12}$ ha un sottogruppo di ordine 12 (generato da tutti i numeri coprimi con 12), un sottogruppo di ordine 6 (generato da tutti i multipli di 2 che non sono multipli di 3), uno di ordine 4 (generato dai multipli di 3 che non sono multipli di 2), uno di ordine 3 (generato dai multipli di 4), uno di ordine 2 (generato da 6) e il sottogrupp banale.
Dobbiamo avere corrispondenza tra i quozienti e i sottogruppi dell'immagine.
Quindi:
$ZZ_{27}//ZZ_{27} \mapsto \{0\}\subset ZZ_{12}$
oppure
$ZZ_{27}//ZZ_{9} \mapsto ZZ_{3}\subset ZZ_{12}$
Dato un generatore di $ZZ_{27}//ZZ_{9}$ esso viene mandato in un generatore di $ZZ_{3}$, che sono 2 cioé, come osservato prima, 4 e 8.
$12$ non divide $27$ e quindi sicuramente non esistono omomorfismi suriettivi.
$ZZ_{27}$ ha un sottogruppo di ordine 27 (generato da tutti i numeri che non sono multipli di 3), un sottogruppo di ordine 9 (generato da tutti i multipli di 3 che non sono multipli di 9), uno di ordine 3 (generato da 9 e 18) e ovviamente il sottogruppo banale. I quoziente sono isomorfi rispettivamente a $\{0\}$, $ZZ_3$, $ZZ_9$ e $ZZ_27$.
$ZZ_{12}$ ha un sottogruppo di ordine 12 (generato da tutti i numeri coprimi con 12), un sottogruppo di ordine 6 (generato da tutti i multipli di 2 che non sono multipli di 3), uno di ordine 4 (generato dai multipli di 3 che non sono multipli di 2), uno di ordine 3 (generato dai multipli di 4), uno di ordine 2 (generato da 6) e il sottogrupp banale.
Dobbiamo avere corrispondenza tra i quozienti e i sottogruppi dell'immagine.
Quindi:
$ZZ_{27}//ZZ_{27} \mapsto \{0\}\subset ZZ_{12}$
oppure
$ZZ_{27}//ZZ_{9} \mapsto ZZ_{3}\subset ZZ_{12}$
Dato un generatore di $ZZ_{27}//ZZ_{9}$ esso viene mandato in un generatore di $ZZ_{3}$, che sono 2 cioé, come osservato prima, 4 e 8.
Se $G$ e $H$ sono gruppi abeliani allora indico con $Hom (G,H)$ l'insieme degli omomorfismi di gruppi da $G$ in $H$.
Se $m,n \in N^+$ allora
$Hom( ZZ//mZZ \ , \ ZZ//nZZ)$ è in corrispondenza biunivoca con l'insieme $\{ g \in Hom (ZZ \ , \ ZZ//nZZ) \ | \ mZZ \subseteq Ker g \}$ e quindi entrambi questi insiemi hanno $MCD(n,m)$ elementi.
Se $m,n \in N^+$ allora
$Hom( ZZ//mZZ \ , \ ZZ//nZZ)$ è in corrispondenza biunivoca con l'insieme $\{ g \in Hom (ZZ \ , \ ZZ//nZZ) \ | \ mZZ \subseteq Ker g \}$ e quindi entrambi questi insiemi hanno $MCD(n,m)$ elementi.
Ringrazio tutti e due per le risposte su cui ora ragionerò un pò
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