Omomorfismi

[Maryse1]

salve, ho un problema su un tipo di esercizio..per esempio questo:
Quanti omomorfismi ci sono dal gruppo S3 a Z3?
io ho capito che prima devo far si che entrambe i gruppi siano abeliani, quindi quoziento S3 con il gruppo dei commutatori che è isomorfo a Z2..quindi poi devo contare gli omomorfismi da Z2 a Z3...solo non ho ben capito come farlo..perchè guardando un altro esercizio che vuole il numero del omomorfismi da Z6 a Z18 conta gli elementi di Z18 che hanno un ordine che divida 6..quindi 1,2,3,6...e in tutto vengono 6 omomorfismi...
Il procedimento è questo ..o ho capito male?..oppure c'è un'altra risoluzione?..
Grazie in anticipo

[Mrhaha]

Io mi ricondurrei al teorema di omomorfismo! Che ne dici?

[mistake89]

Il nucleo di un omomorfismo è un sottogruppo normale di $S_3$.

Quindi definisci i possibili nuclei e discuti i vari casi.
Sicuramente due possibili nuclei sono ${id},S_3$. Nel secondo caso hai l'omomorfismo banale. Nel primo caso invece cosa puoi dire?

[Mrhaha]

La cardinalità di $(S3)/{id}$ è $6$,che deve essere uguale alla cardinalità di un sottogruppo di $Z3$ il che è assurdo!

[mistake89]

Sì esatto, un omomorfismo con nucleo l'identità non ci può essere, perché $imf \cong S_3$ deve essere un sottogruppo di $ZZ_3$. Ciò però ne viola la cardinalità.

Ora bisogna verificare le altre possibilità, partendo dai sottogruppi normali di $S_3$

[Maryse1]

Ah quindi per determinare tutti gli omomorfismi da S3 a Z3 li devo vedere attraverso il Ker di S3??
non ho ancora ben capito..