Omomorfismi

[nyx1]

Scusate se vi do di nuovo noia ma ho l'esame a breve e sono in balia delle onde con alcuni esercizi
Sia G1 G2 due gruppi finiti tali che |G1|=n e |G2|=m e (n,m)=1 .Determinare motivando la risposta, tutti i possibili omorfismi G1 in G2.
Io avrei pensato a dimostrare che è un omorfismo ma come faccio a determinarli tutti???

grazie....Vi devo molto se passo questo esame è grazie all'aiuto di tutti voi.....

[claudiamatica]

Primo indizio: affinchè un omomorfismo di gruppi $f$ sia ben definito, se $f(a)=b$ allora l'ordine di $b$ in $G_2$ deve dividere l'ordine di $a$ in $G_1$.
Se questa cosa non la sai prova a dimostrarla o a cercare la dimostrazione su un libro di testo

[nyx1]

"claudiamatica":Primo indizio: affinchè un omomorfismo di gruppi $f$ sia ben definito, se $f(a)=b$ allora l'ordine di $b$ in $G_2$ deve dividere l'ordine di $a$ in $G_1$.
Se questa cosa non la sai prova a dimostrarla o a cercare la dimostrazione su un libro di testo

Questo l'ho gia fatto nel caso ti riporto la dimostrazione. Ma l'esercizio dice di trovare tutti li omomorfismi

[nyx1]

vi prego mi date una mano????

[Studente Anonimo]

"nyx":vi prego mi date una mano????

[mod="Martino"]Questo e' un UP dopo meno di 24 ore, il che e' vietato espressamente nel regolamento. Attenzione in futuro, grazie.[/mod]

[nyx1]

scusa....

[claudiamatica]

Secondo indizio: il teorema di Lagrange ti dà informazioni preziose su come sono fatti gli ordini degli elementi di un gruppo, rispetto all'ordine del gruppo stesso.

[nyx1]

"claudiamatica":Secondo indizio: il teorema di Lagrange ti dà informazioni preziose su come sono fatti gli ordini degli elementi di un gruppo, rispetto all'ordine del gruppo stesso.

Allora ascolta ma devo dimostrare anche che è un omomorfismo iniettivo e suriettivo???

[claudiamatica]

Allora.. non so perchè usi il singolare. Voglio dire.. l'esercizio consiste nel "contare" quanti omomorfismi di gruppi si possono stabilire da $G_1$ a $G_2$, avendo come informazione il fatto che gli ordini di $G_1$ e $G_2$ sono coprimi.
Gli eventuali omomorfismi che puoi trovare non è certo detto che debbano essere iniettivi o suriettivi, nè tantomeno entrambe le cose.
In particolare ti invito a riflettere sul fatto che se gli ordini di $G_1$ e $G_2$ sono diversi omomorfismi biettivi (cioè isomorfismi) non ne potrai mai avere.
Detto $f$ un generico omomorfismo di gruppi da $G_1$ a $G_2$ qui si tratta di stabilire, preso un elemento $a in G_1$, quanti sono i possibili $b in G_2$ tali che $f(a)=b$. E, in linea di principio, così via.
E' in questa considerazione che entrano in gioco le ipotesi che hai sugli ordini, e i due indizi che ti ho scritto prima.
Ti è più chiaro?

[nyx1]

"claudiamatica":Allora.. non so perchè usi il singolare. Voglio dire.. l'esercizio consiste nel "contare" quanti omomorfismi di gruppi si possono stabilire da $G_1$ a $G_2$, avendo come informazione il fatto che gli ordini di $G_1$ e $G_2$ sono coprimi.
Gli eventuali omomorfismi che puoi trovare non è certo detto che debbano essere iniettivi o suriettivi, nè tantomeno entrambe le cose.
In particolare ti invito a riflettere sul fatto che se gli ordini di $G_1$ e $G_2$ sono diversi omomorfismi biettivi (cioè isomorfismi) non ne potrai mai avere.
Detto $f$ un generico omomorfismo di gruppi da $G_1$ a $G_2$ qui si tratta di stabilire, preso un elemento $a in G_1$, quanti sono i possibili $b in G_2$ tali che $f(a)=b$. E, in linea di principio, così via.
E' in questa considerazione che entrano in gioco le ipotesi che hai sugli ordini, e i due indizi che ti ho scritto prima.
Ti è più chiaro?

Si, molto più chiaro. Ti ringrazio per la pazienza