Omomorfismi

[fabiola5]

ho una mappa che associa a $gamma$ un elemento $e_gamma$ mod m,
dove $e_gamma=p^an^b$ con a e b interi e p primo che divide n, e $gamma$ è un automorfismo tale che
$gamma(g)=g^(e_gamma)$.
sapendo che $(e_gamma,m)=1$ devo mostrare che la mia mappa conserva l'operazione ovvero che è un omomorfismo;

Grazie infinite

[ficus2002]

"fabiola":ho una mappa che associa a $gamma$ un elemento $e_gamma$ mod m...

Non capisco chi sono dominio e codominio di questa mappa.

[Martino]

Oltre a specificare dominio e codominio della mappa $\gamma \mapsto e_{\gamma}$, dovresti (secondo me) dire alcune altre cosette:

- $\gamma$ è un automorfismo di quale struttura? Di un gruppo? Si tratta di un fissato gruppo, diciamo G, senza altre ipotesi?
- Che dipendenza hanno a,b,n,p da $\gamma$? In altre parole, qual è la descrizione esplicita della mappa $\gamma \mapsto e_{\gamma}$?

Per favore, scrivi le risposte a queste domande in questo post, evita di aprirne un altro...

[fabiola5]

ragazzi non ho messo tutte le informazioni che chiedete perchè avevo posto il problema in un post qualche tempo fa (Martino lo ricorderà perchè era quello che iniziava prepotentemente con la frase sia G un sottogruppo) ma mi avevate detto che c'erano troppe nozioni e uno doveva andarsi a vedere altri post per capirci qualcosa;allora ho posto l'argomento in maniera più generica, ma vedo che non basta;provo perciò a dirvi quello che mi chiedete:
G è un sottogruppo dell'anello $A=F_p[X]$/$(X^r-1)/(X-1)$ con r e p numeri primi.
precisamente $G=(a in A:sigma(a)=a^n)$ e $sigma$ è l'automorfismo da $A$ in $A$ che a $X$ associa $X^n$.
poi ho $phi$ sempre automorfismo che a $X$ associa $X^p$.
$Gamma=$ sottogruppo ciclico generato da questi due elementi (so che la dicitura è starna ma è scritto così e credo dipenda dal fatto che p divide n) e un elemento $gamma in Gamma$ agisce su un elemento $g in G$ nel modo descritto sopra.
la mappa di cui parlo ha come dominio $Gamma$ e come immagine $Z$/$mZ$ dove $m$ è il minimo comune multiplo degli ordini degli elementi di G.
Spero di essere stata chiara e vi ringrazio per la pazienza

[fabiola5]

[fabiola5]

una risposta per me, potrebbe bastare.....

[ficus2002]

"fabiola":$Gamma=$ sottogruppo ciclico generato da questi due elementi (so che la dicitura è starna ma è scritto così e credo dipenda dal fatto che p divide n)

Quindi per ipotesi, $n$ è un multiplo di $p$ fissato? Quindi $\Gamma$, in pratica, è generato da $\phi$?

"fabiola":un elemento $gamma in Gamma$ agisce su un elemento $g in G$ nel modo descritto sopra.

Cioè, hai una mappa $e: \Gamma\to ZZ/(mZZ), \gamma\mapsto e_{\gamma}$ tale che
$\gamma(g)=g^(e_{\gamma}),\quad \forall \gamma\in \Gamma, g\in G$.
Tu vuoi provare che $e$ è un omomorfismo di gruppi?

[fabiola5]

esatto

[fabiola5]

ancora niente?

[ficus2002]

"fabiola":$sigma$ è l'automorfismo da $A$ in $A$ che a $X$ associa $X^n$.

Non sono ancora convinto che questa $sigma$ sia un automorfismo di anelli.

[fabiola5]

si dimostra che una qualunque applicazione $delta_k:A->A$ e che a X associa $X^k$ è un automorfismo quando $(k,r)=1$;la dimostrazione però è un pò lunga,perciò ti prego di prenderlo per buono
grazie