Omomorfismi
Ciao. Ho due esercizi:
1)Determina tutti gli omomorfismi $ ZZ/(12ZZ)rarrZZ/(8ZZ) $.
2)Determina tutti gli omomorfismi $ ZZ/(12ZZ)rarrZZ/(6ZZ) $.
Ne ho trovati alcuni, in particolare:
1) $ [X]_12 rarr [X]_6 $, $ [X]_12 rarr [X]_4 $, $ [X]_12 rarr [X]_3 $, $ [X]_12 rarr [X]_2 $ e ovviamente quello banale $ [X]_12 rarr [X]_1 $.
2) analogamente ho tutti quelli $ [X]_12 rarr [X]_a t.c. a|12 $.
Credevo che questi fossero gli unici, ma poi mi sono accorto che, ad esempio nel 2), anche $ [X]_12 rarr -[X]_6 $ lo è, allo stesso modo ho che gli opposti di tutti gli omomorfismi precedenti sono a loro volta omomorfismi.
Per riassumere:
$ [X]_12 rarr [X]_a t.c. a|12$ e $ [X]_12 rarr -[X]_a t.c. a|12$ sono tutti omomorfismi che soddisfano entrambi gli esercizi, in particolare perché tutti i divisori di 12 sono minori o uguali di 6 e 8.
Ce ne sono altri? È possibile determinare una regola generale?
Non chiedo la risoluzione degli esercizi ma dei suggerimenti.
1)Determina tutti gli omomorfismi $ ZZ/(12ZZ)rarrZZ/(8ZZ) $.
2)Determina tutti gli omomorfismi $ ZZ/(12ZZ)rarrZZ/(6ZZ) $.
Ne ho trovati alcuni, in particolare:
1) $ [X]_12 rarr [X]_6 $, $ [X]_12 rarr [X]_4 $, $ [X]_12 rarr [X]_3 $, $ [X]_12 rarr [X]_2 $ e ovviamente quello banale $ [X]_12 rarr [X]_1 $.
2) analogamente ho tutti quelli $ [X]_12 rarr [X]_a t.c. a|12 $.
Credevo che questi fossero gli unici, ma poi mi sono accorto che, ad esempio nel 2), anche $ [X]_12 rarr -[X]_6 $ lo è, allo stesso modo ho che gli opposti di tutti gli omomorfismi precedenti sono a loro volta omomorfismi.
Per riassumere:
$ [X]_12 rarr [X]_a t.c. a|12$ e $ [X]_12 rarr -[X]_a t.c. a|12$ sono tutti omomorfismi che soddisfano entrambi gli esercizi, in particolare perché tutti i divisori di 12 sono minori o uguali di 6 e 8.
Ce ne sono altri? È possibile determinare una regola generale?
Non chiedo la risoluzione degli esercizi ma dei suggerimenti.
Risposte
"ProPatria":
È possibile determinare una regola generale?
Se $G$ è un gruppo ciclico, un omomorfismo $\phi: G->H$ è univocamente determinato dall'immagine di un generatore. Prova a rivedere tutto in quest'ottica e a rifare l'esercizio.
P.S. non capisco che notazione stai usando, cosa intendi con $[X]_n$?
Non so che calcoli ha fatto $ProPatria$,ma i possibili omomorfismoi tra $Z_12 rarr Z_8$ a me risultano $4$:
$ φ([x]_12) = [0x]_8 $ che é quello banale
$ φ([x]_12) = [4x]_8 $
$ φ([x]_12) = [2x]_8 $
$ φ([x]_12) = [6x]_8 $
Mentre da
$Z_12 rarr Z_6$ me ne risultano $6$
$ φ([x]_12) = [0x]_8 $ che é quello banale
$ φ([x]_12) = [4x]_8 $
$ φ([x]_12) = [2x]_8 $
$ φ([x]_12) = [6x]_8 $
Mentre da
$Z_12 rarr Z_6$ me ne risultano $6$
Sono d'accordo @Alin 
"jinsang":
[quote="ProPatria"]È possibile determinare una regola generale?
Se $G$ è un gruppo ciclico, un omomorfismo $\phi: G->H$ è univocamente determinato dall'immagine di un generatore. Prova a rivedere tutto in quest'ottica e a rifare l'esercizio.
P.S. non capisco che notazione stai usando, cosa intendi con $[X]_n$?[/quote]
Purtroppo quelli di generatore e di ciclicità sono concetti che ancora non conosco. La notazione $[X]_n$ si riferisce alla classe di equivalenza di X modulo n, dunque gli omomorfismi che ho trovato nel primo esercizio (che sono in altre parole $ phi ([x] _12)=[x]_8 $ etc.) sono tutti quelli che "inviano" ogni classe di equivalenza di X modulo 12 nella classe di equivalenza di X modulo $ a $, dove $ a $ è divisore di 12 e minore o uguale di 8. Credi sia corretto?
"ProPatria":
La notazione $ [X]_n $ si riferisce alla classe di equivalenza di X modulo n, dunque gli omomorfismi che ho trovato nel primo esercizio (che sono in altre parole $ phi ([x] _12)=[x]_8 $ etc.) sono tutti quelli che "inviano" ogni classe di equivalenza di X modulo 12 nella classe di equivalenza di X modulo $ a $, dove $ a $ è divisore di 12 e minore o uguale di 8. Credi sia corretto?
Credo che tu stia facendo confusione. Il codominio è \(\mathbb{Z}/{8\mathbb{Z}}\), chi è \([1]_6\) in \(\mathbb{Z}/{8\mathbb{Z}}\)? Ha senso questa domanda?
"jinsang":
[quote="ProPatria"]
La notazione $ [X]_n $ si riferisce alla classe di equivalenza di X modulo n, dunque gli omomorfismi che ho trovato nel primo esercizio (che sono in altre parole $ phi ([x] _12)=[x]_8 $ etc.) sono tutti quelli che "inviano" ogni classe di equivalenza di X modulo 12 nella classe di equivalenza di X modulo $ a $, dove $ a $ è divisore di 12 e minore o uguale di 8. Credi sia corretto?
Credo che tu stia facendo confusione. Il codominio è \(\mathbb{Z}/{8\mathbb{Z}}\), chi è \([1]_6\) in \(\mathbb{Z}/{8\mathbb{Z}}\)? Ha senso questa domanda?[/quote]
Ora che mi ci fai pensare no... Grazie per la pazienza.
"ProPatria":
Ora che mi ci fai pensare no... Grazie per la pazienza.
Di niente
. Se vuoi accettare un consiglio:
Prendi il tuo libro di algebra e studiati la parte relativa ai gruppi ciclici, assicurati di averla capita e di aver bene presente che cos'è un omomorfismo di gruppi, poi prova a pensare di nuovo all'esercizio tenendo presente ciò:
Se G è un gruppo ciclico, un omomorfismo ϕ:G→H è univocamente determinato dall'immagine di un generatore.
"jinsang":
[quote="ProPatria"]Ora che mi ci fai pensare no... Grazie per la pazienza.
Di niente
. Se vuoi accettare un consiglio:
Prendi il tuo libro di algebra e studiati la parte relativa ai gruppi ciclici, assicurati di averla capita e di aver bene presente che cos'è un omomorfismo di gruppi, poi prova a pensare di nuovo all'esercizio tenendo presente ciò:
Se G è un gruppo ciclico, un omomorfismo ϕ:G→H è univocamente determinato dall'immagine di un generatore.[/quote]
Ciao... Ci ho messo un po' ma ho seguito il tuo consiglio
Ho notato però che non sempre definendo l'immagine di un generatore riesco a definire un omomorfismo. Ad esempio:
5 è generatore di $ ZZ/(12ZZ) $. Se definisco una funzione $ f: ZZ/(12ZZ) rarr ZZ/(8ZZ) $ tale che $ f([5]_12)=[7]_8 $ (ad esempio), f voglio che sia omomorfismo quindi posso definire $ f([10]_12) $ come $ f([5]_12+[5]_12)= f([5]_12)+f([5]_12) $. Allo stesso modo (ricordando che 5 è generatore) posso definire $ f([3]_12)=f([10]_12)+f([5]_12) $ e l'immagine di tutte le classi di $ ZZ_12 $. Noto inoltre che in questo modo (ci sono arrivato solo tempo dopo facendo un po' di conti e intuitivamente non capisco perché) ottengo una legge del tipo $ f([X]_12)=[11X]_8 $. Tuttavia, ho presto capito che questo non è un omomorfismo. Com'è possibile? Spero risponderai
Ciao
Per prima cosa è conveniente scegliere sempre $[1]_n$ come generatore per \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \), perché i calcoli sono più semplici.
Come hai giustamente osservato, non tutte le scelte dell'immagine portano a qualcosa di ben definito.
Prendiamo l'esempio che hai fatto te, ovvero \( f:\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) facendo la scelta \( f([5]_{12})=[7]_8 \). Il fatto è che in questo modo non definisci nemmeno una funzione, perché quanto vale $f([0]_12)$? Se scrivo $[0]_12=[12*5]_12$ ottengo $f([0]_12)=...$ ma se scrivo $[0]_12=[24*5]_12$ ottengo ... (completa tu).
In generale, quando si definisce qualcosa (in questo caso una funzione), bisogna verificare che ciò che abbiamo definito sia "consistente", cioè ci poniamo il problema della buona definizione.
Nel caso in questione dobbiamo verificare che $f([X]_12)$ non dipende dal rappresentante che scelgo per $[X]_12$, cioè per esempio che $...=f([-12]_12)=f([0]_12)=f([12]_12)=f([24]_12)=...$, stessa cosa per le altre classi.
Rifletti intanto su queste cose qui
Per prima cosa è conveniente scegliere sempre $[1]_n$ come generatore per \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \), perché i calcoli sono più semplici.
Come hai giustamente osservato, non tutte le scelte dell'immagine portano a qualcosa di ben definito.
Prendiamo l'esempio che hai fatto te, ovvero \( f:\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) facendo la scelta \( f([5]_{12})=[7]_8 \). Il fatto è che in questo modo non definisci nemmeno una funzione, perché quanto vale $f([0]_12)$? Se scrivo $[0]_12=[12*5]_12$ ottengo $f([0]_12)=...$ ma se scrivo $[0]_12=[24*5]_12$ ottengo ... (completa tu).
In generale, quando si definisce qualcosa (in questo caso una funzione), bisogna verificare che ciò che abbiamo definito sia "consistente", cioè ci poniamo il problema della buona definizione.
Nel caso in questione dobbiamo verificare che $f([X]_12)$ non dipende dal rappresentante che scelgo per $[X]_12$, cioè per esempio che $...=f([-12]_12)=f([0]_12)=f([12]_12)=f([24]_12)=...$, stessa cosa per le altre classi.
Rifletti intanto su queste cose qui
"jinsang":
Per prima cosa è conveniente scegliere sempre $[1]_n$ come generatore per \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \), perché i calcoli sono più semplici.
Capisco, dunque non è necessario "analizzare" più generatori per trovare tutti gli omomorfismi ma posso sempre studiare solo quello più semplice quindi $ [1]_n $?
"jinsang":
Come hai giustamente osservato, non tutte le scelte dell'immagine portano a qualcosa di ben definito.
Prendiamo l'esempio che hai fatto te, ovvero \( f:\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) facendo la scelta \( f([5]_{12})=[7]_8 \). Il fatto è che in questo modo non definisci nemmeno una funzione, perché quanto vale $f([0]_12)$? Se scrivo $[0]_12=[12*5]_12$ ottengo $f([0]_12)=...$ ma se scrivo $[0]_12=[24*5]_12$ ottengo ... (completa tu).
In generale, quando si definisce qualcosa (in questo caso una funzione), bisogna verificare che ciò che abbiamo definito sia "consistente", cioè ci poniamo il problema della buona definizione.
Nel caso in questione dobbiamo verificare che $f([X]_12)$ non dipende dal rappresentante che scelgo per $[X]_12$, cioè per esempio che $...=f([-12]_12)=f([0]_12)=f([12]_12)=f([24]_12)=...$, stessa cosa per le altre classi.
Rifletti intanto su queste cose qui
È chiaro... In pratica quindi la relazione che ottengo a partire da $ f([5]_12)=[7]_8 $ non è una funzione quindi non può essere omomorfismo... Dunque per riassumere: partendo ad esempio da $ f([1]_12)=[2]_8 $ e costruendo così tutte le altre immagini ottengo un omomorfismo che, "guarda caso", ha la legge $ f([X]_12)=[2X]_8 $. Partendo invece, non so, da $ f([1]_12)=[3]_8 $ avrei una legge del tipo $ f([X]_12)=[3X]_8 $ ma questa non è una funzione ben definita quindi non è omomorfismo, e così via. È corretto?
"ProPatria":Esatto; una volta che abbiamo trovato tutti i possibili omomorfismi guardando dove mandare $[1]_n$, se ripetessi il ragionamento con un altro generatore ritroverei esattamente gli stessi omomorfismi. Per toccare con mano questo fatto prova a farti degli esempi piccoli.
Capisco, dunque non è necessario "analizzare" più generatori per trovare tutti gli omomorfismi ma posso sempre studiare solo quello più semplice quindi $[1]_n$?
"ProPatria":Sì, direi che hai afferrato l'idea!
È chiaro... In pratica quindi la relazione che ottengo a partire da \( f([5]_{12})=[7]_8 \) non è una funzione quindi non può essere omomorfismo... Dunque per riassumere: partendo ad esempio da \( f([1]_{12})=[2]_8 \) e costruendo così tutte le altre immagini ottengo un omomorfismo che, "guarda caso", ha la legge \( f([X]_{12})=[2X]_8 \). Partendo invece, non so, da \( f([1]_{12})=[3]_8 \) avrei una legge del tipo \( f([X]_{12})=[3X]_8 \) ma questa non è una funzione ben definita quindi non è omomorfismo, e così via. È corretto?
Giusto per spenderci altre due parole: una volta che ti sei assicurato che ciò che hai definito è una funzione, il fatto che sia anche omomorfismo è gratuito perché l'hai costruito appositamente per questo (guardando i multipli di un generatore).
Adesso ti pongo queste domande:
Sapresti dirmi quali scelte di \( f([1]_{12}) \) definiscono un omomorfismo?
Qual è la caratteristica che accomuna le possibili immagini di \( [1]_{12} \)? (hint: guarda gli ordini)
Il passo successivo sarebbe sintetizzare tutte queste cose (che ci siamo detti in modo un po' colloquiale e considerando un esempio particolare) in un enunciato preciso e generale che ti permetta di riconoscere al volo questa situazione.
"jinsang":
Sapresti dirmi quali scelte di \( f([1]_{12}) \) definiscono un omomorfismo?
Qual è la caratteristica che accomuna le possibili immagini di \( [1]_{12} \)? (hint: guarda gli ordini)
Il passo successivo sarebbe sintetizzare tutte queste cose (che ci siamo detti in modo un po' colloquiale e considerando un esempio particolare) in un enunciato preciso e generale che ti permetta di riconoscere al volo questa situazione.
Per gli omomorfismi $ ZZ_12 rarr ZZ_6 $ abbiamo che le possibili immagini di $ [1]_12 $ sono $ [0]_6, [1]_6, [2]_6, [3]_6, [4]_6, [5]_6 $, ho notato che gli ordini delle possibili immagini sono tutti divisori di 12 (come anche nel caso di $ ZZ_8 $), mentre gli ordini delle immagini che non sono "accettabili" non dividono 12. Dunque l'enunciato dovrebbe essere:
Un omomorfismo $ ZZ_n rarr ZZ_m $ si ottiene univocamente definendo l'immagine di un generatore di $ ZZ_n $. Tale immagine definisce una funzione se e solo se il suo ordine in $ ZZ_m $ divide $ n $. È corretto?
Molto bene, direi che hai finito!
Grazie mille
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