Omomorfismi
Buonasera. Chiedo gentilmente aiuto riguardo il seguente esercizio:
1)Determinare esplicitamente (indicando come operano sugli elementi del domino) tutti gli omomorfismi dal gruppo $mathbb(Z//6Z)$ al gruppo $S_3$, il cui nucleo abbia ordine 3.
Ho ragionato così: Il nucleo dell'omomorfismo f è un sottogruppo normale di $mathbb(Z//6Z)$. L'unico sottogruppo normale di ordine 3 di $mathbb(Z//6z)$ è ${0, 2, 4}$, dove 0, 2, 4 sono le classi $[0], [2], [4]$.
Quindi so che gli\l'omomorfismi\o cercato\i mandano $[0], [2], [4]$ nell'unità. Non so però determinare come opera sugli altri elementi.
2) Mostrare che esistono 6 omomorfismi di gruppi da $mathbb(Z//6Z)$ al gruppo simmetrico $S_3$.
Qui ho individuato i generatori di $mathbb(Z//6Z)$ e sono $[1]$ e $[5]$. Ora attribuendo l'immagine di un generatore ad un elemento di $S_3$, l'omomorfismo è completamente determinato. Quindi ho i 6 omomorfismi completamente determinati ponendo $f([1])=\sigma$ dove $\sigma\ in\ S_3$.
Può andare quanto fatto?
1)Determinare esplicitamente (indicando come operano sugli elementi del domino) tutti gli omomorfismi dal gruppo $mathbb(Z//6Z)$ al gruppo $S_3$, il cui nucleo abbia ordine 3.
Ho ragionato così: Il nucleo dell'omomorfismo f è un sottogruppo normale di $mathbb(Z//6Z)$. L'unico sottogruppo normale di ordine 3 di $mathbb(Z//6z)$ è ${0, 2, 4}$, dove 0, 2, 4 sono le classi $[0], [2], [4]$.
Quindi so che gli\l'omomorfismi\o cercato\i mandano $[0], [2], [4]$ nell'unità. Non so però determinare come opera sugli altri elementi.
2) Mostrare che esistono 6 omomorfismi di gruppi da $mathbb(Z//6Z)$ al gruppo simmetrico $S_3$.
Qui ho individuato i generatori di $mathbb(Z//6Z)$ e sono $[1]$ e $[5]$. Ora attribuendo l'immagine di un generatore ad un elemento di $S_3$, l'omomorfismo è completamente determinato. Quindi ho i 6 omomorfismi completamente determinati ponendo $f([1])=\sigma$ dove $\sigma\ in\ S_3$.
Può andare quanto fatto?
Risposte
Provo ad aiutarti, se ci riesco.
1) Negli omomorfismi di gruppi la non iniettività è distribuita in modo "omogeneo" in pratica se il nucleo manda x elementi in 0 allora se un elemento g non appartenente al nucleo va in y ci va tutto g + N. Sai che in un gruppo ogni elemento ha inverso...
2) credo che il procedimento vada bene
1) Negli omomorfismi di gruppi la non iniettività è distribuita in modo "omogeneo" in pratica se il nucleo manda x elementi in 0 allora se un elemento g non appartenente al nucleo va in y ci va tutto g + N. Sai che in un gruppo ogni elemento ha inverso...
2) credo che il procedimento vada bene
"010":
Negli omomorfismi di gruppi la non iniettività è distribuita in modo "omogeneo" in pratica se il nucleo manda x elementi in 0 allora se un elemento g non appartenente al nucleo va in y ci va tutto g + N. Sai che in un gruppo ogni elemento ha inverso...
Non sono proprio sicuro di aver capito. In pratica prendendo gli omomorfismi del punto 2), quelli cui corrisponde un nucleo di ordine 3 sono quelli che mandano $[0], [2], [4]$ in $id\ in\ S_3$ e mandano $[1], [3], [5]$ in uno stesso $\sigma\ in\ S_3$ che non sia l'identità?
Se dovesse essere così saprei individuare questo omomorfismo
si però devi considerare che se hai 2 elementi l'altro di $ S_3 $ deve essere inverso di se stesso
Che ne dici dei tre che mandano il generatore di $ZZ//6ZZ$ in un elemento di $S_3$ di ordine $2$?
"Martino":
Che ne dici dei tre che mandano il generatore di Z/6Z in un elemento di S3 di ordine 2?
Era ciò a cui mi riferivo con l'ultima frase. $[1]$ e $[5]$ hanno ordine 6 in $mathbb(Z//6Z)$ mentre $[3]$ ha ordine 2. Ho bisogno che, dato un omomorfismo $f:G->H$, $o(f(g))$ divida $o(g)$. Quindi in pratica devo prendere gli elementi di $S_3$ con ordine tale da dividere sia 2 che 6 e diverso da 1. Cioè i 2-cicli.
Giusto?
Sì nel senso che devi mandare un generatore di $ZZ//6ZZ$ in un elemento di $S_3$ di ordine $2$ (cioè un 2-ciclo come hai detto).
Perfetto, grazie mille ad entrambi
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