Omomorfismi

[liberatorimatteo]

Buonasera, devo dimostrare che due funzioni sono omomorfismi di gruppi. Le funzioni in questione sono:

$\phi: (D_n, \circ)-> (GL(2,RR),\cdot): g \mapsto \phi(g)=
\{( ((cos((2\pi)/n),-sin((2\pi)/n)),(sin((2\pi)/n),cos((2\pi)/n))) \text{ se } g=R_((2\pi)/n)),(((1,0),(0,-1)) \text{ se } g=S):}$

Mia idea:

Devo far vedere che $\phi(R_((2\pi)/n)S)=\phi(R_((2\pi)/n))\phi(S)$
Ora è chiaro che
$\phi(R_((2\pi)/n))\phi(S)=((cos((2\pi)/n),-sin((2\pi)/n)),(sin((2\pi)/n),cos((2\pi)/n)))((1,0),(0,-1))=((cos((2\pi)/n),sin((2\pi)/n)),(sin((2\pi)/n),-cos((2\pi)/n)))$
ma non so come calcolare $\phi(R_((2\pi)/n)S)$, intuitivamente l'omomorfismo è chiaramente vero ma non so come scriverlo formalmente

$\rho: (S_n, \circ)-> (GL(n,RR),\cdot): g \mapsto \rho_2(\sigma)=(e_(\sigma(1))...e_(\sigma(n)))$

Mia idea:

Devo far vedere che $\rho(\sigma_1\sigma_2)=\rho(\sigma_1)\rho(\sigma2)$
Ora è chiaro che $\rho(\sigma_1\sigma_2)=(e_(\sigma_1(\sigma_2(1)))...e_(\sigma_1(\sigma_2(n))))$
mentre $\rho(\sigma_1)\rho(\sigma_2)=(e_(\sigma_1(1))...e_(\sigma_1(n)))(e_(\sigma_2(1))...e_(\sigma_2(n)))$
ma non so come far vedere in modo formale che effettivamente siano la stessa cosa

Cosa posso fare? Grazie mille in anticipo

[killing_buddha]

Un omomorfismo di gruppi è determinato dall'immagine dei generatori.

Nel secondo caso non è molto chiaro chi sia $\rho$. Cioè, se uno ci pensa stai probabilmente prendendo la matrice che ha le $n$ colonne permutate da $\sigma \in S_n$. Ma è davvero così? Dal resto non si capisce molto

[liberatorimatteo]

Stavo riflettendo che $R_((2\pi)/n)S=R_(-(2\pi)/n)=$ ma ora non mi tornano i conti

Per il secondo è giusta la tua "teoria". Praticamente prendo la matrice identità che quindi ha come vettori colonna $e_1, e_2,...e_n$ e ottengo una nuova matrice che ha come vettori colonna $e_(\sigma(1)),...,e_(\sigma(n))$

[killing_buddha]

Per il secondo allora mi sembra evidente che se prendi due permutazioni $\sigma,\tau$ e permuti prima con $\sigma $ e poi con $\tau$ questo equivale a permutare con $\tau\sigma$.