Omomorfismi
Riuscireste a determinare tutti gli omomorfismi di $ ZZ mod 6 rightarrow ZZ mod 4 $ uno è quello banale che associa ad ogni elemento di $ ZZ mod 6 $ l elemento 0. Un altra associa ai termini pari di $ ZZ mod 6 $ 0 e ai termini dispari 1
Risposte
Sapreste dirmi tutti gli altri??
"mmattiak":Sicuro?
...Un altro associa ai termini pari di $ ZZ mod 6 $ 0 e ai termini dispari 1
Credo di si...mi sbaglio??
Detto \(\displaystyle\varphi\) un tale omomofismo, affermi che:
\[
0_4=\varphi(4_6)=\varphi(3_6+1_6)=\varphi(3_6)+\varphi(1_6)=1_4+1_4=2_4
\]
che è assurdo!
\[
0_4=\varphi(4_6)=\varphi(3_6+1_6)=\varphi(3_6)+\varphi(1_6)=1_4+1_4=2_4
\]
che è assurdo!
Hai ragione!! Mi sapresti dire gli altri omomorfismi allora?
L unico è quello banale giusto??
Sia \(\theta : G_1 \to G_2\) un morfismo di gruppi, allora per ogni \(g \in G\) di periodo finito si ha \(\operatorname{per} \theta(g) | \operatorname{per} g\) dove con \(\operatorname{per}\) si intende il periodo.
Inoltre in questo caso hai che \(\theta(n) = \theta(n \cdot 1) = n \cdot \theta(1)\) quindi il morfismo è determinato esclusivamente da dove viene mandato \([1]_6\). Sai anche che il periodo di \([1]_6\) è \(6\) e sai quali sono i possibili periodi di un elemento di \(\mathbb{Z}_4\), da qui puoi dedurre facilmente dove può essere mandato \([1]_6\) e trovare i vari morfismi.
Inoltre in questo caso hai che \(\theta(n) = \theta(n \cdot 1) = n \cdot \theta(1)\) quindi il morfismo è determinato esclusivamente da dove viene mandato \([1]_6\). Sai anche che il periodo di \([1]_6\) è \(6\) e sai quali sono i possibili periodi di un elemento di \(\mathbb{Z}_4\), da qui puoi dedurre facilmente dove può essere mandato \([1]_6\) e trovare i vari morfismi.
Indubbiamente, bastava guardare alla caratteristica degli anelli in gioco. 
Se l'omomorfismo lo vuoi di anelli allora esiste solo quello banale, se ne vuoi uno di gruppi allora oltre a quello banale ne esiste un altro. Infatti poiché $ZZ6$ è cicilico l'omomorfismo è determinato da $\varphi(1)$ inoltre $ZZ4$ ha ordine 4 e quindi... da qui puoi concludere come ti pare.
@mmattiak Ma stai parlando di gruppi o di anelli?
Di gruppi. solo che non riesco a trovare il secondo omomorfismo
Ok: dove puoi mandare \(\displaystyle1_6\) in \(\displaystyle\mathbb{Z}_4\) rispettando il fatto che \(\displaystyle6\varphi=0\)?
In 2?
Quindi numeri pari in zero e dispari in dueee
"mmattiak":Sì.
In 2?
"mmattiak":No.
Quindi numeri pari in zero e dispari in dueee
Fai i calcoli!
Come no? 0,2,4 vanno in 0 e 1,3,5 vanno in 2
Ah sì, sono io che ho sbagliato coi calcoli! 
Perfetto, grazie mille degli aiuti
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