Omomorfismi

[ZetaFunction1]

Mi si chiede di descrivere tutti gli omomorfismi dal gruppo degli interi rispetto all'addizione a sé stesso. Ho pensato alle funzioni del tipo $\varphi(a)=ka, k in ZZ$, ma non mi sembra tutti gli omomorfismi siano compresi...

[Pappappero1]

Il gruppo additivo degli interi è ciclico, cioè [tex]\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle[/tex]. Quindi una volta fissata l'immagine di $1$, è fissato l'intero omomorfismo. Prova a continuare da solo...

[ZetaFunction1]

In effetti non avevo fatto caso alla ciclicità.

[ZetaFunction1]

Gli unici omomorfismi che mi vengono in mente sono quelli di sopra e quelli in cui aggiungi una quantità fissa ad ogni singolo termine... non so se ne esistano altri.

[Pappappero1]

Cosa intendi quando dici: "quelli a cui aggiungi una quantità fissa a ogni singolo termine?"

[ZetaFunction1]

Del tipo $\varphi(a+b)=(a+c)+(b+c)$.

[Kashaman]

"ZetaFunction":Del tipo $\varphi(a+b)=(a+c)+(b+c)$.

? poco chiaro.
Non so in che maniera questo possa essere un omomorfismo, quale sarebbe la funzione esplicita? non riesco a vederla.

[ZetaFunction1]

Mi sono inventato un'applicazione che somma ad ogni singolo elemento un dato valore $c$. Per esempio $\varphi(a)=a+c$, $\varphi(a+b+d)=(a+c)+(b+c)+(d+c)$ e così via. Non è lecito?

[Kashaman]

Ammesso e concesso che tutto ciò abbia un senso, avresti che $f(0)=0+c=c!=0$ e non avresti dunque un omomorfismo di gruppi.

[Seneca1]

@ Zeta: Fai le cose come si deve, seguendo il suggerimento di Palliit. Quelli che hai inizialmente proposto ($\varphi_k (x) = kx$ , $k \in ZZ$) sono effettivamente omomorfismi. Devi far vedere che, preso un endomorfismo $\varphi$ di $ZZ$ arbitrario, $\varphi = \varphi_k$ per un certo $k$.

[ZetaFunction1]

"Kashaman":Ammesso e concesso che tutto ciò abbia un senso, avresti che $f(0)=0+c=c!=0$ e non avresti dunque un omomorfismo di gruppi.

Infatti era una proposta senza pretese.

[ZetaFunction1]

"Seneca":@ Zeta: Fai le cose come si deve, seguendo il suggerimento di Palliit. Quelli che hai inizialmente proposto ($\varphi_k (x) = kx$ , $k \in ZZ$) sono effettivamente omomorfismi. Devi far vedere che, preso un endomorfismo $\varphi$ di $ZZ$ arbitrario, $\varphi = \varphi_k$ per un certo $k$.

Vedrò quel che riesco a fare...

[ZetaFunction1]

Mi ero dimenticato la proprietà dei sottogruppi di $ZZ$ additivo... a questo punto la risoluzione dovrebbe risultare assai semplice...