Ogni estensione algebrica di K con char K=0 è separabile
Ciao a tutti, studiando mi sono imbattuto nel seguente esercizio
Ho provato a dimostrare ma senza usare il fatto che l'estensione è algebrica, quindi penso sia sbagliata:
Su un campo $K$ di caratteristica $0$ ogni polinomio non costante è separabile, ovvero $K$ è perfetto.
Sappiamo che un'estensione $K sub F$ è separabile se ogni elemento di $F$ è separabile su $K$.
Ma $K$ è perfetto, allora ogni estensione $K sub F$ è separabile (comprese le estensioni algebriche).
Dove sbaglio?
Dimostrare che ogni estensione algebrica di un campo $K$ di caratteristica $0$ ($char K = 0$) è separabile.
Ho provato a dimostrare ma senza usare il fatto che l'estensione è algebrica, quindi penso sia sbagliata:
Su un campo $K$ di caratteristica $0$ ogni polinomio non costante è separabile, ovvero $K$ è perfetto.
Sappiamo che un'estensione $K sub F$ è separabile se ogni elemento di $F$ è separabile su $K$.
Ma $K$ è perfetto, allora ogni estensione $K sub F$ è separabile (comprese le estensioni algebriche).
Dove sbaglio?
Risposte
Un elemento può essere definito separabile solo se è algebrico. Riguarda la definizione di elemento separabile 
Faccio confusione tra elemento e polinomio, pensavo fossero la stessa cosa, nel senso, un polinomio è un elemento.
Allora ho queste definizioni:
DEF polinomio separabile
Siano $K$ un campo e $f ∈ K[x]$ un polinomio di grado $n > 0$. Diremo che $f$ è separabile se $f$ è irriducibile e $D(f)!=0$.
In generale, diremo che $f$ è separabile se lo sono tutti i suoi fattori irriducibili.
DEF estensione separabile
Sia $K ⊂ F$ un’estensione. Un elemento $α ∈ F$ è separabile su $K$ se $α$ è algebrico su $K$ e il suo polinomio minimo su $K$ è separabile. Se ogni $α ∈ F$ è separabile su $K$, diremo che l’estensione $K ⊂ F$ è separabile.
DEF elemento algebrico e estensione algebrica
Sia $K ⊂ F$ un’estensione. Un elemento $α ∈ F$ si dice algebrico su $K$ se esiste un polinomio $0!=f ∈ K[x]$ tale che $f(α) = 0$. Altrimenti $α$ è detto trascendente su $K$.
Se tutti gli elementi di $F$ sono algebrici su $K$, si dice che $K ⊂ F$ è un’estensione algebrica.
Inoltre, quello che so, se un campo $K$ ha caratteristica zero, è che:
- il nucleo dell'omomorfismo di anelli $Ψ : Z → K, n → n · 1$ è il vettore nullo (se $Ψ$ è iniettivo)
- ogni polinomio non costante è separabile su $K$, ovvero $K$ è perfetto
Vediamo l'esercizio.
Se abbiamo un'estensione algebrica $F$ allora tutti i suoi elementi sono algebrici su $K$, però, per dire che sono anche separabili, dovrei far vedere che tutti i loro polinomi minimi sono separabili...come fare?
Allora ho queste definizioni:
DEF polinomio separabile
Siano $K$ un campo e $f ∈ K[x]$ un polinomio di grado $n > 0$. Diremo che $f$ è separabile se $f$ è irriducibile e $D(f)!=0$.
In generale, diremo che $f$ è separabile se lo sono tutti i suoi fattori irriducibili.
DEF estensione separabile
Sia $K ⊂ F$ un’estensione. Un elemento $α ∈ F$ è separabile su $K$ se $α$ è algebrico su $K$ e il suo polinomio minimo su $K$ è separabile. Se ogni $α ∈ F$ è separabile su $K$, diremo che l’estensione $K ⊂ F$ è separabile.
DEF elemento algebrico e estensione algebrica
Sia $K ⊂ F$ un’estensione. Un elemento $α ∈ F$ si dice algebrico su $K$ se esiste un polinomio $0!=f ∈ K[x]$ tale che $f(α) = 0$. Altrimenti $α$ è detto trascendente su $K$.
Se tutti gli elementi di $F$ sono algebrici su $K$, si dice che $K ⊂ F$ è un’estensione algebrica.
Inoltre, quello che so, se un campo $K$ ha caratteristica zero, è che:
- il nucleo dell'omomorfismo di anelli $Ψ : Z → K, n → n · 1$ è il vettore nullo (se $Ψ$ è iniettivo)
- ogni polinomio non costante è separabile su $K$, ovvero $K$ è perfetto
Vediamo l'esercizio.
Se abbiamo un'estensione algebrica $F$ allora tutti i suoi elementi sono algebrici su $K$, però, per dire che sono anche separabili, dovrei far vedere che tutti i loro polinomi minimi sono separabili...come fare?
La dimostrazione che hai messo nell'intervento dove poni la domanda è giusta. La riformulo. Piglia un'estensione algebrica F di K. Dato un elemento a di F, a è algebrico su K per ipotesi. Quindi ha un polinomio minimo, che è irriducibile. Siccome K è perfetto, tale polinomio è separabile. Quindi a è separabile.
Ah ma dunque nella definizione che ho scritto prima di elemento algebrico, il polinomio $0≠f∈K[x]$ (tale che $f(α)=0$), la cui esistenza è garantita dal fatto che $α$ è algebrico, è un polinomio minimo di sicuro?
Perchè nella definizione che ho studiato (che è quella che ho scritto) ciò non viene specificato (forse perché è una cosa ovvia?)
Perchè nella definizione che ho studiato (che è quella che ho scritto) ciò non viene specificato (forse perché è una cosa ovvia?)
No non è ovvia ma non è nemmeno vera. Il punto è che se un elemento è zero di un polinomio non nullo allora è zero di un suo fattore irriducibile. Riguarda la definizione di polinomio minimo.
Se un elemento $a$ è algebrico allora è zero di un polinomio non nullo (per la tua definizione), allora prendi quel polinomio $P(X)$ (monico) di grado minimo tra i polinomi che hanno $a$ come zero. Questo polinomio si chiama polinomio minimo di $a$ e si dimostra che è irriducibile.
Quanto al tuo dubbio iniziale, pensa all'estensione $QQ subset RR$. L'elemento $\pi$ (pi greco) appartiene a $RR$ ma non è separabile (non è nemmeno algebrico!).
Se un elemento $a$ è algebrico allora è zero di un polinomio non nullo (per la tua definizione), allora prendi quel polinomio $P(X)$ (monico) di grado minimo tra i polinomi che hanno $a$ come zero. Questo polinomio si chiama polinomio minimo di $a$ e si dimostra che è irriducibile.
Quanto al tuo dubbio iniziale, pensa all'estensione $QQ subset RR$. L'elemento $\pi$ (pi greco) appartiene a $RR$ ma non è separabile (non è nemmeno algebrico!).
Ah ok grazie. Si esatto pigreco è un elemento trascendente.
Dalla teoria leggo che
"data un'estensione $K sub F$ e un elemento $a in F$ algebrico su $K$, allora esiste uno e un solo polinomio $h ∈ K[x]$ monico e irriducibile tale che $h(a) = 0$, detto polinomio minimo di α su K."
Quindi capisco che per ogni elemento algebrico, tra i vari polinomi di cui esso è zero, vi è un polinomio minimo.
Dunque riprendendo la tua dimostrazione:
Sia $K sub F$ un'estensione algebrica, con $char K=0$. Ogni elemento $a in F$ è algebrico su $K$, allora per ciascuno di essi esiste un polinomio minimo $0!=h in K[x]$, monico e irriducibile, tale che $h(a)=0$. Il campo $K$ è perfetto essendo di caratteristica zero, ovvero ogni polinomio $0!=f in K[x]$ è separabile, quindi in particolare anche $h$ è separabile. Ma allora ogni elemento $a in F$ è separabile su $K$ e dunque l'estensione $K sub F$ è separabile.
Dalla teoria leggo che
"data un'estensione $K sub F$ e un elemento $a in F$ algebrico su $K$, allora esiste uno e un solo polinomio $h ∈ K[x]$ monico e irriducibile tale che $h(a) = 0$, detto polinomio minimo di α su K."
Quindi capisco che per ogni elemento algebrico, tra i vari polinomi di cui esso è zero, vi è un polinomio minimo.
Dunque riprendendo la tua dimostrazione:
Sia $K sub F$ un'estensione algebrica, con $char K=0$. Ogni elemento $a in F$ è algebrico su $K$, allora per ciascuno di essi esiste un polinomio minimo $0!=h in K[x]$, monico e irriducibile, tale che $h(a)=0$. Il campo $K$ è perfetto essendo di caratteristica zero, ovvero ogni polinomio $0!=f in K[x]$ è separabile, quindi in particolare anche $h$ è separabile. Ma allora ogni elemento $a in F$ è separabile su $K$ e dunque l'estensione $K sub F$ è separabile.
Esatto. L'unica cosa è che "ogni polinomio $0 ne f in K[x]$ è separabile" è una frase un po' ambigua (dipende dalla tua definizione di "separabile"), dato che per esempio $(X-1)^2$ è un polinomio con radici multiple (quindi non separabile, se la vedi così). La frase che io direi è "ogni polinomio irriducibile è separabile".
Ah forse è meglio come dici, onde evitare problemi. Il nostro prof. ci ha dato questa definizione
"Un campo $K$ è detto perfetto se ogni polinomio non costante $f ∈ K[x]$ è separabile."
Quindi penso dovrebbe andar bene!
"Un campo $K$ è detto perfetto se ogni polinomio non costante $f ∈ K[x]$ è separabile."
Quindi penso dovrebbe andar bene!
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