Ogni bilineare è determinata dal valore che prende sulle coppie di elementi di base, però con \({\otimes}\)

[marco2132k]

Ciao. Credo di essermi bloccato su una scemenza. Siano \( F \) e \( F^\prime \) due \( R \)-moduli liberi (dove \( R \) è commutativo), di basi rispettivamente \( \{e_i\}_{i\in I} \) e \( \{f_j\}_{j\in J} \). Una funzione \( g_0 \) del prodotto \( \{e_i\}_i\times\{f_j\}_j \) in un \( R \)-modulo \( M \) si estende in modo unico a una funzione bilineare \( g\colon F\times F^\prime\to M \): dati \( x = \sum_ix_ie_i \) in \( F \) e \( y = \sum_jy_if_i \), suddetta \( g \) mappa
\[
g\colon (x,y)\mapsto \sum_{ij}x_iy_jg_0(e_i,f_j)
\] come noto.

Apparentemente, si può dimostrare la stessa cosa usando il fatto che \( F\otimes_R F^\prime \) è libero quando lo sono entrambi i fattori. Non mi è molto chiara l'osservazione che viene fatta qui a pagina 16, e mi farebbe piacere se qualcuno me la spiegasse:

Theorem 4.9 [cioè che \( F\otimes_R F^\prime \) libero se i fattori anche] can be interpreted in terms of bilinear maps out of \( F\times F^\prime \). It says that all bilinear maps out of \( F\times F^\prime \) are determined by their values on the pairs \( (e_i,f_j) \), and that each assignment of values to these pairs extends in a unique way to a bilinear map out of \( F\times F^\prime \). (The uniqueness of the extension is connected to the linear independence of the elementary tensors \( e_i\otimes f_j \).) This is the bilinear analogue of the existence and uniqueness of a linear extension of a function from a basis of a free module to the whole module.

(ho sistemato le notazioni in accordo a quelle mie, più belle).

Da quello che ho capito io:
1) Data \( g_0 \) come sopra, l'unica idea possibile è definire \( g \) come la funzione composta della bilineare universale \( t\colon F\times F^\prime\to F\otimes_R F^\prime \) con la funzione (lineare) \( f\colon F\otimes_R F^\prime\to M \) che fa commutare il diagramma

\begin{tikzcd}
\{e_i\otimes f_j\}_{ij}\ar[dr, "{{e_i\otimes f_j}\mapsto g_0(e_i,f_j)}"left=2ex]\ar[r, hook, "\iota"] & F\otimes_R F^\prime\ar[d, dotted,"f"]\\
& M
\end{tikzcd}

ma ho dei dubbi sulla buona definizione della funzione che è messa "di traverso".

2) Che l'unicità di una tale \( g \) deve discendere dall'indipendenza lineare dei \( e_i\otimes f_j \) credo sia banale, ma adesso ho fame u.u

[solaàl]

Tensorare commuta coi colimiti, e un libero è coprodotto di copie dell'anello:
\[
F\otimes F'\cong R^{(A)}\otimes R^{(B)} \cong R^{(A\times B)}.
\]

[marco2132k]

Ok, questo lo sapevo (però su quel pdf viene fatto un po' dopo, al §5 mi pare). Potresti essere un po' più esplicito? Grazie!

[solaàl]

Se \(M\) è un \(R\)-modulo, \(M\otimes_R-\) è cocontinuo, e le somme dirette sono colimiti; allora
\[
M\otimes \big(\bigoplus_{i\in I}R\big)\cong \bigoplus_{i\in I} M\otimes R\cong \bigoplus_{i\in I} M
\] A questo punto, se anche \(M=\bigoplus_{j\in J}R\) è libero, hai
\[
M\otimes \big(\bigoplus_{i\in I}R\big) \cong \bigoplus_{i\in I}\bigoplus_{j\in J}R\cong \bigoplus_{(i,j)\in I\times J} R
\] che è a sua volta libero. Tu vuoi vederlo in termini di proprietà universale: ok, allora basta ricordare che, se \(F\cong R^{(I)}, F'\cong R^{(J)}\), si ha
\[
\hom_R(F\otimes F', A)\cong \hom_R(F,\hom(F',A)) \cong {\sf Set}(I, {\sf Set}(J,A))\cong
{\sf Set}(I\times J, A)\cong \hom_R(R^{(I\times J)},A)
\] dove ho usato la proprietà universale e il fatto che \(R^{(-)} :{\sf Set} \leftrightarrows {\sf Mod}_R : U\) sono funtori aggiunti. Per Yoneda, allora, \(F\otimes F'\) e \(R^{(I\times J)}\) sono canonicamente isomorfi.

[marco2132k]

Ah ma quindi "per ogni funzione \( A\times B\to M \) (\( A \) e \( B \) spanning sets di \( F \) e \( F^\prime \)) esiste un'unica bilineare \( F\times F^\prime\to M \) che la estende" in un certo senso lo impacchetti dicendo che
\[
\mathsf{Set}(A\times B,M)\cong\hom_R(F\otimes_R F^\prime,M)\cong\operatorname{Bilin}(F,F^\prime; M)
\]

È per questo che mi stai mostrando questi fatti?

[solaàl]

Beh, pensa a qual è la proprietà universale di \(M\otimes_R N\). Un modo ancora alternativo è di considerarlo come il coequalizzatore di
\[
\bigoplus_{r\in R} M\otimes_{\mathbb Z} N \rightrightarrows M\otimes_{\mathbb Z} N \to {\sf coeq}(u,v)
\] dove le due mappe parallele sono indotte da \(u_r : M\otimes_{\mathbb Z} N \to M\otimes_{\mathbb Z} N : m\otimes n\mapsto rm\otimes n\) e \(v_r : M\otimes_{\mathbb Z} N \to M\otimes_{\mathbb Z} N : m\otimes n \mapsto m\otimes rn\). Se \(M,N\) sono moduli liberi, ora, uno dovrebbe armarsi di pazienza e dimostrare che la proprietà universale di \(M\otimes N\) è soddisfatta da \(R^{(I\times J)}\) (sembra facile: ma chi ti assicura che \(M\otimes_{\mathbb Z} R^{(I)}\cong M^{(I)}\) come gruppi abeliani?)

Tutte queste proprietà universali comunque alla fine sono la stessa.