ω+1≠ω

[olanda2000]

come mai :

ω+1≠ω ma 1+ω=ω ?

ω è l'insieme ordinato di tutti i numeri naturali.

Grazie

[megas_archon]

$1+\omega=\omega$ per com'è definita la somma di ordinali quando l'addendo a destra è un ordinale limite: se \(\beta\) è limite, \(1+\beta = \sup\{1+\gamma\mid \gamma < \beta\}\), sicché è evidente che \(1+\omega = \sup\{1+n\mid n<\omega\}=\omega\).

Una maniera più intuitiva di affermare questo è che la classe di isomorfismo di tipo d'ordine di \(\omega\) e di \(1+\omega=\{0'<0<1<\dots\}\) coincidono perché la mappa \(0\mapsto 0'\) e \(n+1\mapsto n\) è un isomorfismo d'ordine. Idem dicasi, quindi, per ogni ordinale della forma \(k+\omega\) quando \(k<\omega\) (prova a dimostrare questo caso più generale).

Il motivo per cui $\omega+1$ è diverso da $\omega$ è che il primo ha un massimo, il secondo no.

[megas_archon]

Ho aggiunto qualche altro dettaglio.

[olanda2000]

"megas_archon":

Il motivo per cui $\omega+1$ è diverso da $\omega$ è che il primo ha un massimo, il secondo no.

il massimo sarebbe 1 ?

cioè {1'<2'<3'<.....<1 } ?
Come mai non può essere il minimo? Così :
{1<1'<2'<3'<..... }
grazie

[megas_archon]

1<1'<2'<... ha tipo d'ordine diverso da 1'<2'<3'<...<1

Il primo è 1+omega. Il secondo è omega+1.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Detto in altro modo \( \omega +1 \) è un ordinale successore mentre \( \omega \) è un ordinale limite. In particolare per ogni ordinale \( \alpha < \omega \) abbiamo che \( s(\alpha) < \omega \), pensa a come è definito \( \omega \). Mentre abbiamo che \( \omega + 1 = \omega + s(0) = s(\omega+0)= s( \omega) \) dunque è un ordinale successore.

Dove \( s(\alpha) = \alpha \cup \{ \alpha\} \), ti è chiaro perché \( \alpha < s(\alpha)\) ? Abbiamo dunque \( 1+\omega= \omega < s(\omega) = \omega +1 \)