Nuova Proprietà (?) successione Fibonacci
Ciao a tutti!
Mi chiamo Jacopo Liberati e ho 25 anni.
Sono un appassionato di numeri... soprattutto dei numeri primi.
Studiando la successione di Fibonacci ho scoperto e dimostrato una proprietà veramente simpatica.
Dalle ricerche che ho effettuato non mi pare sia stata già scoperta, ma non ne sono sicuro (se così fosse mi scuso per avervi fatto perdere del tempo).
Quest'equazione spiega e dimostra sia la proprietà secondo la quale dati quattro numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto del primo col quarto è sempre pari al prodotto del secondo col terzo aumentato o diminuito di 1, sia l'Identità di Cassini.
Che ne dite? Esiste?
La dimostrazione la posto nei commenti... è venuta un po' lunga!
Mi chiamo Jacopo Liberati e ho 25 anni.
Sono un appassionato di numeri... soprattutto dei numeri primi.
Studiando la successione di Fibonacci ho scoperto e dimostrato una proprietà veramente simpatica.
Dalle ricerche che ho effettuato non mi pare sia stata già scoperta, ma non ne sono sicuro (se così fosse mi scuso per avervi fatto perdere del tempo).
Quest'equazione spiega e dimostra sia la proprietà secondo la quale dati quattro numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto del primo col quarto è sempre pari al prodotto del secondo col terzo aumentato o diminuito di 1, sia l'Identità di Cassini.
PROPRIETÀ SERIE DI FIBONACCI
Presi quattro numeri appartenenti alla serie di Fibonacci ( i pedici rappresentano la posizione dei numeri all'interno della serie stessa ):
F(x) , F(s) , F(t) , F(y)
con
x , s , t , y ∈ N
Se è vera l'equazione: x + y = s + t
Allora esisteranno due numeri appartenenti alla serie di Fibonacci, F(a) e F(b) , che renderanno vera l'equazione:
F(x) * F(y) = F(s) * F(t) + k * F(a) * F(b)
dove:
a = ½ [ y + t - ( x + s ) ]
b = ½ [ y + s - ( x + t ) ]
k = ± 1
N.B.
Se
x = 2z + 1
con
z ∈ N
⇒ k = 1
Altrimenti:
k = - 1
Presi quattro numeri appartenenti alla serie di Fibonacci ( i pedici rappresentano la posizione dei numeri all'interno della serie stessa ):
F(x) , F(s) , F(t) , F(y)
con
x , s , t , y ∈ N
Se è vera l'equazione: x + y = s + t
Allora esisteranno due numeri appartenenti alla serie di Fibonacci, F(a) e F(b) , che renderanno vera l'equazione:
F(x) * F(y) = F(s) * F(t) + k * F(a) * F(b)
dove:
a = ½ [ y + t - ( x + s ) ]
b = ½ [ y + s - ( x + t ) ]
k = ± 1
N.B.
Se
x = 2z + 1
con
z ∈ N
⇒ k = 1
Altrimenti:
k = - 1
Che ne dite? Esiste?
La dimostrazione la posto nei commenti... è venuta un po' lunga!
Risposte
DIMOSTRAZIONE
PARTE 1:
Vista la condizione x + y = s + t
⇒ y = s + t – x
Dato che i numeri possono essere o pari (P) o dispari (D) , ci sono 8 (23) combinazioni possibili:
caso\posizione
..x s t y
1 P P P P
2 P D P D
3 P D D P
4 P P D D
5 D P D P
6 D P P D
7 D D P P
8 D D D D
Date le formule :
a = ½ [ y + t - ( x + s ) ]
b = ½ [ y + s - ( x + t ) ]
⇒ caso 1: ( 2x , 2s , 2t )
a = ½ [ 2s + 2t – 2x + 2t – ( 2x + 2s ) ] = ½[4t – 4x] = 2t – 2x
Sempre Pari
b = ½ [ 2s + 2t – 2x + 2s – ( 2x + 2t ) ] = ½[4s – 4x] = 2s – 2x
Sempre Pari
⇒ caso 2: ( 2x , 2s + 1 , 2t )
a = ½ [ 2s + 1 + 2t – 2x + 2t – ( 2x + 2s + 1) ] = ½[4t – 4x] = 2t – 2x
Sempre Pari
b = ½ [ 2s + 1 + 2t – 2x + 2s + 1 – ( 2x + 2t ) ] = ½[4s + 2 – 4x] = 2s + 1– 2x
Sempre Dispari
⇒ caso 3: ( 2x , 2s + 1 , 2t + 1 )
a = ½ [ 2s + 1 + 2t + 1 – 2x + 2t + 1– ( 2x + 2s + 1) ] = ½[4t + 2 – 4x] = 2t + 1 – 2x
Sempre Dispari
b = ½ [ 2s + 1 + 2t + 1 – 2x + 2s + 1 – ( 2x + 2t + 1) ] = ½[4s + 2 – 4x] = 2s + 1– 2x
Sempre Dispari
⇒ caso 4: ( 2x , 2s , 2t + 1 )
a = ½ [ 2s + 2t + 1 – 2x + 2t + 1 – ( 2x + 2s) ] = ½[4t + 2 – 4x] = 2t + 1 – 2x
Sempre Dispari
b = ½ [ 2s + 2t + 1 – 2x + 2s – ( 2x + 2t + 1) ] = ½[4s – 4x] = 2s – 2x
Sempre Pari
⇒ caso 5: ( 2x + 1 , 2s , 2t + 1 )
a = ½ [ 2s + 2t + 1 – 2x - 1 + 2t + 1 – ( 2x + 1 + 2s) ] = ½[4t – 4x] = 2t – 2x
Sempre Pari
b = ½ [ 2s + 2t - 1 – 2x - 1 + 2s – ( 2x + 1 + 2t + 1) ] = ½[4s – 4x – 2 ] = 2s – 2x - 1
Sempre Dispari
⇒ caso 6: ( 2x + 1 , 2s , 2t )
a = ½ [ 2s + 2t – 2x - 1 + 2t – ( 2x + 1 + 2s ) ] = ½[4t – 4x – 2 ] = 2t – 2x - 1
Sempre Dispari
b = ½ [ 2s + 2t – 2x - 1 + 2s – ( 2x + 1 + 2t ) ] = ½[4s – 4x – 2 ] = 2s – 2x
Sempre Dispari
⇒ caso 7: ( 2x + 1 , 2s + 1 , 2t )
a = ½ [ 2s + 1 + 2t – 2x - 1 + 2t – ( 2x + 1 + 2s + 1) ] = ½[4t – 4x - 2] = 2t – 2x -1
Sempre Dispari
b = ½ [ 2s + 1 + 2t – 2x - 1 + 2s + 1 – ( 2x + 1 + 2t ) ] = ½[4s – 4x] = 2s – 2x
Sempre Pari
⇒ caso 8: ( 2x + 1 , 2s + 1 , 2t + 1 )
a = ½ [ 2s + 1 + 2t + 1 – 2x - 1 + 2t + 1– ( 2x + 1 + 2s + 1) ] = ½[4t – 4x] = 2t – 2x
Sempre Pari
b = ½ [ 2s + 1 + 2t + 1 – 2x - 1 + 2s + 1 – ( 2x + 1 + 2t + 1) ] = ½[4s – 4x] = 2s – 2x
Sempre Pari
Quindi la tabella aggiornata sarà:
caso\pos.
..x s t y a b
1 P P P P P P
2 P D P D P D
3 P D D P D D
4 P P D D D P
5 D P D P P D
6 D P P D D D
7 D D P P D P
8 D D D D P P
PARTE 2:
Essendo F(n) = (ϕn – φn)/√5
con ϕn = ½(1 + √5) e φn = ½(1 – √5)
Se n = 2x con x ∈ N
⇒ φn > 0
quindi φn = ϕ-n
Se n = 2x + 1 con x ∈ N
⇒ φn < 0
quindi φn = - ϕ-n
PARTE 3:
a + b = ½ [ y + t - ( x + s ) ] + ½ [ y + s - ( x + t ) ]
a + b = y – x
- a - b = - ½ [ y + t - ( x + s ) ] - ½ [ y + s - ( x + t ) ]
- a - b = x – y
a – b = ½ [ y + t - ( x + s ) ] - ½ [ y + s - ( x + t ) ]
a – b = t – s
b – a = ½ [ y + s - ( x + t ) ] - ½ [ y + t - ( x + s ) ]
b – a = s – t
DIMOSTRAZIONE FINALE:
F(x) * F(y) = F(s) * F(t) + k * F(a) * F(b)
Premesso ciò analizziamo caso per caso:
⇒ caso 1: ( 2x , 2s , 2t , 2y , 2a , 2b )
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy – φy)/√5 = (ϕs – φs)/√5 * (ϕt – φt)/√5 + k * (ϕa – φa)/√5 * (ϕb – φb)/√5
(ϕx – ϕ-x) * (ϕy – ϕ-y) = (ϕs – ϕ-s) * (ϕt – ϕ-t) + k * (ϕa – ϕ-a) * (ϕb – ϕ-b)
ϕx+y – ϕy-x – ϕx-y + ϕ-x-y = ϕs+t – ϕt-s – ϕs-t + ϕ-s-t + k * ( ϕa+b – ϕb-a – ϕa-b + ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
- ϕy-x – ϕx-y = – ϕt-s – ϕs-t + k * ( ϕa+b – ϕb-a – ϕa-b + ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
ϕb-a + ϕa-b - ϕa+b - ϕ-a-b = k * ( ϕa+b – ϕb-a – ϕa-b + ϕ-a-b )
⇒ k = -1
⇒ caso 2: ( 2x , 2s + 1 , 2t , 2y + 1 , 2a , 2b + 1 )
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy - φy)/√5 = (ϕs - φs)/√5 * (ϕt – φt)/√5 + k * (ϕa – φa)/√5 * (ϕb - φb)/√5
(ϕx – ϕ-x) * (ϕy + ϕ-y) = (ϕs + ϕ-s) * (ϕt – ϕ-t) + k * (ϕa – ϕ-a) * (ϕb + ϕ-b)
ϕx+y – ϕy-x + ϕx-y - ϕ-x-y = ϕs+t + ϕt-s – ϕs-t - ϕ-s-t + k * ( ϕa+b – ϕb-a + ϕa-b - ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
- ϕy-x + ϕx-y = + ϕt-s – ϕs-t + k * ( ϕa+b – ϕb-a + ϕa-b - ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
ϕb-a - ϕa-b - ϕa+b + ϕ-a-b = k * ( ϕa+b – ϕb-a – ϕa-b + ϕ-a-b )
⇒ k = -1
⇒ caso 3: ( 2x , 2s + 1 , 2t + 1 , 2y , 2a + 1 , 2b + 1 )
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy - φy)/√5 = (ϕs - φs)/√5 * (ϕt - φt)/√5 + k * (ϕa - φa)/√5 * (ϕb - φb)/√5
(ϕx – ϕ-x) * (ϕy - ϕ-y) = (ϕs + ϕ-s) * (ϕt + ϕ-t) + k * (ϕa + ϕ-a) * (ϕb + ϕ-b)
ϕx+y – ϕy-x – ϕx-y + ϕ-x-y = ϕs+t + ϕt-s + ϕs-t + ϕ-s-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a + ϕa-b + ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
- ϕy-x – ϕx-y = + ϕt-s + ϕs-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a + ϕa-b + ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
- ϕb-a - ϕa-b - ϕa+b - ϕ-a-b = k * ( ϕa+b + ϕb-a + ϕa-b + ϕ-a-b )
⇒ k = -1
⇒ caso 4: ( 2x , 2s , 2t + 1 , 2y + 1 , 2a + 1 , 2b )
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy - φy)/√5 = (ϕs - φs)/√5 * (ϕt - φt)/√5 + k * (ϕa - φa)/√5 * (ϕb - φb)/√5
(ϕx – ϕ-x) * (ϕy + ϕ-y) = (ϕs - ϕ-s) * (ϕt + ϕ-t) + k * (ϕa + ϕ-a) * (ϕb - ϕ-b)
ϕx+y – ϕy-x + ϕx-y - ϕ-x-y = ϕs+t - ϕt-s + ϕs-t - ϕ-s-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a - ϕa-b - ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
- ϕy-x + ϕx-y = - ϕt-s + ϕs-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a - ϕa-b - ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
- ϕb-a + ϕa-b - ϕa+b + ϕ-a-b = k * ( ϕa+b + ϕb-a - ϕa-b - ϕ-a-b )
⇒ k = -1
⇒ caso 5: ( 2x + 1 , 2s , 2t + 1 , 2y , 2a , 2b + 1 )
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy - φy)/√5 = (ϕs - φs)/√5 * (ϕt - φt)/√5 + k * (ϕa - φa)/√5 * (ϕb - φb)/√5
(ϕx + ϕ-x) * (ϕy - ϕ-y) = (ϕs - ϕ-s) * (ϕt + ϕ-t) + k * (ϕa - ϕ-a) * (ϕb + ϕ-b)
ϕx+y + ϕy-x - ϕx-y - ϕ-x-y = ϕs+t - ϕt-s + ϕs-t - ϕ-s-t + k * ( ϕa+b - ϕb-a + ϕa-b - ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
ϕy-x - ϕx-y = - ϕt-s + ϕs-t + k * ( ϕa+b - ϕb-a + ϕa-b - ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
- ϕb-a + ϕa-b + ϕa+b - ϕ-a-b = k * ( ϕa+b - ϕb-a + ϕa-b - ϕ-a-b )
⇒ k = 1
⇒ caso 6: ( 2x + 1 , 2s , 2t , 2y + 1 , 2a + 1 , 2b + 1)
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy – φy)/√5 = (ϕs – φs)/√5 * (ϕt – φt)/√5 + k * (ϕa – φa)/√5 * (ϕb – φb)/√5
(ϕx + ϕ-x) * (ϕy + ϕ-y) = (ϕs – ϕ-s) * (ϕt – ϕ-t) + k * (ϕa + ϕ-a) * (ϕb + ϕ-b)
ϕx+y + ϕy-x + ϕx-y + ϕ-x-y = ϕs+t – ϕt-s – ϕs-t + ϕ-s-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a + ϕa-b + ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
ϕy-x + ϕx-y = – ϕt-s – ϕs-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a + ϕa-b + ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
ϕb-a + ϕa-b + ϕa+b + ϕ-a-b = k * ( ϕa+b + ϕb-a + ϕa-b + ϕ-a-b )
⇒ k = 1
⇒ caso 7: ( 2x + 1 , 2s + 1 , 2t , 2y , 2a + 1 , 2b )
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy - φy)/√5 = (ϕs - φs)/√5 * (ϕt – φt)/√5 + k * (ϕa – φa)/√5 * (ϕb - φb)/√5
(ϕx + ϕ-x) * (ϕy - ϕ-y) = (ϕs + ϕ-s) * (ϕt – ϕ-t) + k * (ϕa + ϕ-a) * (ϕb - ϕ-b)
ϕx+y + ϕy-x - ϕx-y - ϕ-x-y = ϕs+t + ϕt-s – ϕs-t - ϕ-s-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a - ϕa-b - ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
ϕy-x - ϕx-y = + ϕt-s – ϕs-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a - ϕa-b - ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
ϕb-a - ϕa-b + ϕa+b - ϕ-a-b = k * ( ϕa+b + ϕb-a – ϕa-b - ϕ-a-b )
⇒ k = 1
⇒ caso 8: ( 2x + 1 , 2s + 1 , 2t + 1 , 2y + 1 , 2a , 2b )
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy - φy)/√5 = (ϕs - φs)/√5 * (ϕt - φt)/√5 + k * (ϕa - φa)/√5 * (ϕb - φb)/√5
(ϕx + ϕ-x) * (ϕy + ϕ-y) = (ϕs + ϕ-s) * (ϕt + ϕ-t) + k * (ϕa - ϕ-a) * (ϕb - ϕ-b)
ϕx+y + ϕy-x + ϕx-y + ϕ-x-y = ϕs+t + ϕt-s + ϕs-t + ϕ-s-t + k * ( ϕa+b - ϕb-a - ϕa-b + ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
+ ϕy-x + ϕx-y = + ϕt-s + ϕs-t + k * ( ϕa+b - ϕb-a - ϕa-b + ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
- ϕb-a - ϕa-b + ϕa+b + ϕ-a-b = k * ( ϕa+b - ϕb-a - ϕa-b + ϕ-a-b )
⇒ k = 1
c. v. d.
Ɐ x = 2z con z ∈ N
⇒ k = - 1
Ɐ x = 2z + 1 con z ∈ N
⇒ k = 1
PARTE 1:
Vista la condizione x + y = s + t
⇒ y = s + t – x
Dato che i numeri possono essere o pari (P) o dispari (D) , ci sono 8 (23) combinazioni possibili:
caso\posizione
..x s t y
1 P P P P
2 P D P D
3 P D D P
4 P P D D
5 D P D P
6 D P P D
7 D D P P
8 D D D D
Date le formule :
a = ½ [ y + t - ( x + s ) ]
b = ½ [ y + s - ( x + t ) ]
⇒ caso 1: ( 2x , 2s , 2t )
a = ½ [ 2s + 2t – 2x + 2t – ( 2x + 2s ) ] = ½[4t – 4x] = 2t – 2x
Sempre Pari
b = ½ [ 2s + 2t – 2x + 2s – ( 2x + 2t ) ] = ½[4s – 4x] = 2s – 2x
Sempre Pari
⇒ caso 2: ( 2x , 2s + 1 , 2t )
a = ½ [ 2s + 1 + 2t – 2x + 2t – ( 2x + 2s + 1) ] = ½[4t – 4x] = 2t – 2x
Sempre Pari
b = ½ [ 2s + 1 + 2t – 2x + 2s + 1 – ( 2x + 2t ) ] = ½[4s + 2 – 4x] = 2s + 1– 2x
Sempre Dispari
⇒ caso 3: ( 2x , 2s + 1 , 2t + 1 )
a = ½ [ 2s + 1 + 2t + 1 – 2x + 2t + 1– ( 2x + 2s + 1) ] = ½[4t + 2 – 4x] = 2t + 1 – 2x
Sempre Dispari
b = ½ [ 2s + 1 + 2t + 1 – 2x + 2s + 1 – ( 2x + 2t + 1) ] = ½[4s + 2 – 4x] = 2s + 1– 2x
Sempre Dispari
⇒ caso 4: ( 2x , 2s , 2t + 1 )
a = ½ [ 2s + 2t + 1 – 2x + 2t + 1 – ( 2x + 2s) ] = ½[4t + 2 – 4x] = 2t + 1 – 2x
Sempre Dispari
b = ½ [ 2s + 2t + 1 – 2x + 2s – ( 2x + 2t + 1) ] = ½[4s – 4x] = 2s – 2x
Sempre Pari
⇒ caso 5: ( 2x + 1 , 2s , 2t + 1 )
a = ½ [ 2s + 2t + 1 – 2x - 1 + 2t + 1 – ( 2x + 1 + 2s) ] = ½[4t – 4x] = 2t – 2x
Sempre Pari
b = ½ [ 2s + 2t - 1 – 2x - 1 + 2s – ( 2x + 1 + 2t + 1) ] = ½[4s – 4x – 2 ] = 2s – 2x - 1
Sempre Dispari
⇒ caso 6: ( 2x + 1 , 2s , 2t )
a = ½ [ 2s + 2t – 2x - 1 + 2t – ( 2x + 1 + 2s ) ] = ½[4t – 4x – 2 ] = 2t – 2x - 1
Sempre Dispari
b = ½ [ 2s + 2t – 2x - 1 + 2s – ( 2x + 1 + 2t ) ] = ½[4s – 4x – 2 ] = 2s – 2x
Sempre Dispari
⇒ caso 7: ( 2x + 1 , 2s + 1 , 2t )
a = ½ [ 2s + 1 + 2t – 2x - 1 + 2t – ( 2x + 1 + 2s + 1) ] = ½[4t – 4x - 2] = 2t – 2x -1
Sempre Dispari
b = ½ [ 2s + 1 + 2t – 2x - 1 + 2s + 1 – ( 2x + 1 + 2t ) ] = ½[4s – 4x] = 2s – 2x
Sempre Pari
⇒ caso 8: ( 2x + 1 , 2s + 1 , 2t + 1 )
a = ½ [ 2s + 1 + 2t + 1 – 2x - 1 + 2t + 1– ( 2x + 1 + 2s + 1) ] = ½[4t – 4x] = 2t – 2x
Sempre Pari
b = ½ [ 2s + 1 + 2t + 1 – 2x - 1 + 2s + 1 – ( 2x + 1 + 2t + 1) ] = ½[4s – 4x] = 2s – 2x
Sempre Pari
Quindi la tabella aggiornata sarà:
caso\pos.
..x s t y a b
1 P P P P P P
2 P D P D P D
3 P D D P D D
4 P P D D D P
5 D P D P P D
6 D P P D D D
7 D D P P D P
8 D D D D P P
PARTE 2:
Essendo F(n) = (ϕn – φn)/√5
con ϕn = ½(1 + √5) e φn = ½(1 – √5)
Se n = 2x con x ∈ N
⇒ φn > 0
quindi φn = ϕ-n
Se n = 2x + 1 con x ∈ N
⇒ φn < 0
quindi φn = - ϕ-n
PARTE 3:
a + b = ½ [ y + t - ( x + s ) ] + ½ [ y + s - ( x + t ) ]
a + b = y – x
- a - b = - ½ [ y + t - ( x + s ) ] - ½ [ y + s - ( x + t ) ]
- a - b = x – y
a – b = ½ [ y + t - ( x + s ) ] - ½ [ y + s - ( x + t ) ]
a – b = t – s
b – a = ½ [ y + s - ( x + t ) ] - ½ [ y + t - ( x + s ) ]
b – a = s – t
DIMOSTRAZIONE FINALE:
F(x) * F(y) = F(s) * F(t) + k * F(a) * F(b)
Premesso ciò analizziamo caso per caso:
⇒ caso 1: ( 2x , 2s , 2t , 2y , 2a , 2b )
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy – φy)/√5 = (ϕs – φs)/√5 * (ϕt – φt)/√5 + k * (ϕa – φa)/√5 * (ϕb – φb)/√5
(ϕx – ϕ-x) * (ϕy – ϕ-y) = (ϕs – ϕ-s) * (ϕt – ϕ-t) + k * (ϕa – ϕ-a) * (ϕb – ϕ-b)
ϕx+y – ϕy-x – ϕx-y + ϕ-x-y = ϕs+t – ϕt-s – ϕs-t + ϕ-s-t + k * ( ϕa+b – ϕb-a – ϕa-b + ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
- ϕy-x – ϕx-y = – ϕt-s – ϕs-t + k * ( ϕa+b – ϕb-a – ϕa-b + ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
ϕb-a + ϕa-b - ϕa+b - ϕ-a-b = k * ( ϕa+b – ϕb-a – ϕa-b + ϕ-a-b )
⇒ k = -1
⇒ caso 2: ( 2x , 2s + 1 , 2t , 2y + 1 , 2a , 2b + 1 )
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy - φy)/√5 = (ϕs - φs)/√5 * (ϕt – φt)/√5 + k * (ϕa – φa)/√5 * (ϕb - φb)/√5
(ϕx – ϕ-x) * (ϕy + ϕ-y) = (ϕs + ϕ-s) * (ϕt – ϕ-t) + k * (ϕa – ϕ-a) * (ϕb + ϕ-b)
ϕx+y – ϕy-x + ϕx-y - ϕ-x-y = ϕs+t + ϕt-s – ϕs-t - ϕ-s-t + k * ( ϕa+b – ϕb-a + ϕa-b - ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
- ϕy-x + ϕx-y = + ϕt-s – ϕs-t + k * ( ϕa+b – ϕb-a + ϕa-b - ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
ϕb-a - ϕa-b - ϕa+b + ϕ-a-b = k * ( ϕa+b – ϕb-a – ϕa-b + ϕ-a-b )
⇒ k = -1
⇒ caso 3: ( 2x , 2s + 1 , 2t + 1 , 2y , 2a + 1 , 2b + 1 )
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy - φy)/√5 = (ϕs - φs)/√5 * (ϕt - φt)/√5 + k * (ϕa - φa)/√5 * (ϕb - φb)/√5
(ϕx – ϕ-x) * (ϕy - ϕ-y) = (ϕs + ϕ-s) * (ϕt + ϕ-t) + k * (ϕa + ϕ-a) * (ϕb + ϕ-b)
ϕx+y – ϕy-x – ϕx-y + ϕ-x-y = ϕs+t + ϕt-s + ϕs-t + ϕ-s-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a + ϕa-b + ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
- ϕy-x – ϕx-y = + ϕt-s + ϕs-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a + ϕa-b + ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
- ϕb-a - ϕa-b - ϕa+b - ϕ-a-b = k * ( ϕa+b + ϕb-a + ϕa-b + ϕ-a-b )
⇒ k = -1
⇒ caso 4: ( 2x , 2s , 2t + 1 , 2y + 1 , 2a + 1 , 2b )
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy - φy)/√5 = (ϕs - φs)/√5 * (ϕt - φt)/√5 + k * (ϕa - φa)/√5 * (ϕb - φb)/√5
(ϕx – ϕ-x) * (ϕy + ϕ-y) = (ϕs - ϕ-s) * (ϕt + ϕ-t) + k * (ϕa + ϕ-a) * (ϕb - ϕ-b)
ϕx+y – ϕy-x + ϕx-y - ϕ-x-y = ϕs+t - ϕt-s + ϕs-t - ϕ-s-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a - ϕa-b - ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
- ϕy-x + ϕx-y = - ϕt-s + ϕs-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a - ϕa-b - ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
- ϕb-a + ϕa-b - ϕa+b + ϕ-a-b = k * ( ϕa+b + ϕb-a - ϕa-b - ϕ-a-b )
⇒ k = -1
⇒ caso 5: ( 2x + 1 , 2s , 2t + 1 , 2y , 2a , 2b + 1 )
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy - φy)/√5 = (ϕs - φs)/√5 * (ϕt - φt)/√5 + k * (ϕa - φa)/√5 * (ϕb - φb)/√5
(ϕx + ϕ-x) * (ϕy - ϕ-y) = (ϕs - ϕ-s) * (ϕt + ϕ-t) + k * (ϕa - ϕ-a) * (ϕb + ϕ-b)
ϕx+y + ϕy-x - ϕx-y - ϕ-x-y = ϕs+t - ϕt-s + ϕs-t - ϕ-s-t + k * ( ϕa+b - ϕb-a + ϕa-b - ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
ϕy-x - ϕx-y = - ϕt-s + ϕs-t + k * ( ϕa+b - ϕb-a + ϕa-b - ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
- ϕb-a + ϕa-b + ϕa+b - ϕ-a-b = k * ( ϕa+b - ϕb-a + ϕa-b - ϕ-a-b )
⇒ k = 1
⇒ caso 6: ( 2x + 1 , 2s , 2t , 2y + 1 , 2a + 1 , 2b + 1)
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy – φy)/√5 = (ϕs – φs)/√5 * (ϕt – φt)/√5 + k * (ϕa – φa)/√5 * (ϕb – φb)/√5
(ϕx + ϕ-x) * (ϕy + ϕ-y) = (ϕs – ϕ-s) * (ϕt – ϕ-t) + k * (ϕa + ϕ-a) * (ϕb + ϕ-b)
ϕx+y + ϕy-x + ϕx-y + ϕ-x-y = ϕs+t – ϕt-s – ϕs-t + ϕ-s-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a + ϕa-b + ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
ϕy-x + ϕx-y = – ϕt-s – ϕs-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a + ϕa-b + ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
ϕb-a + ϕa-b + ϕa+b + ϕ-a-b = k * ( ϕa+b + ϕb-a + ϕa-b + ϕ-a-b )
⇒ k = 1
⇒ caso 7: ( 2x + 1 , 2s + 1 , 2t , 2y , 2a + 1 , 2b )
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy - φy)/√5 = (ϕs - φs)/√5 * (ϕt – φt)/√5 + k * (ϕa – φa)/√5 * (ϕb - φb)/√5
(ϕx + ϕ-x) * (ϕy - ϕ-y) = (ϕs + ϕ-s) * (ϕt – ϕ-t) + k * (ϕa + ϕ-a) * (ϕb - ϕ-b)
ϕx+y + ϕy-x - ϕx-y - ϕ-x-y = ϕs+t + ϕt-s – ϕs-t - ϕ-s-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a - ϕa-b - ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
ϕy-x - ϕx-y = + ϕt-s – ϕs-t + k * ( ϕa+b + ϕb-a - ϕa-b - ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
ϕb-a - ϕa-b + ϕa+b - ϕ-a-b = k * ( ϕa+b + ϕb-a – ϕa-b - ϕ-a-b )
⇒ k = 1
⇒ caso 8: ( 2x + 1 , 2s + 1 , 2t + 1 , 2y + 1 , 2a , 2b )
(ϕx – φx)/√5 * (ϕy - φy)/√5 = (ϕs - φs)/√5 * (ϕt - φt)/√5 + k * (ϕa - φa)/√5 * (ϕb - φb)/√5
(ϕx + ϕ-x) * (ϕy + ϕ-y) = (ϕs + ϕ-s) * (ϕt + ϕ-t) + k * (ϕa - ϕ-a) * (ϕb - ϕ-b)
ϕx+y + ϕy-x + ϕx-y + ϕ-x-y = ϕs+t + ϕt-s + ϕs-t + ϕ-s-t + k * ( ϕa+b - ϕb-a - ϕa-b + ϕ-a-b )
Visto che per costruzione x + y = s + t
ϕx+y = ϕs+t e ϕ-x-y = ϕ-s-t
+ ϕy-x + ϕx-y = + ϕt-s + ϕs-t + k * ( ϕa+b - ϕb-a - ϕa-b + ϕ-a-b )
Dato che a + b = y – x , - a - b = x – y , a – b = t – s , b – a = s – t
- ϕb-a - ϕa-b + ϕa+b + ϕ-a-b = k * ( ϕa+b - ϕb-a - ϕa-b + ϕ-a-b )
⇒ k = 1
c. v. d.
Ɐ x = 2z con z ∈ N
⇒ k = - 1
Ɐ x = 2z + 1 con z ∈ N
⇒ k = 1
Ciao! Benvenuto!
Mi sembra che sia la diciottesima formula che trovi nella sezione 4.1 in questa pagina (vedi anche la bibliografia, in particolare il libro di Steven Vajda). La riporto qui:
[tex]F(n + i) F(n + k) – F(n) F(n + i + k) = (–1)^n F(i) F(k)[/tex]
Mi sembra che sia la diciottesima formula che trovi nella sezione 4.1 in questa pagina (vedi anche la bibliografia, in particolare il libro di Steven Vajda). La riporto qui:
[tex]F(n + i) F(n + k) – F(n) F(n + i + k) = (–1)^n F(i) F(k)[/tex]
Eh sì, è proprio lei!
Scritta così è perfino più bella!!
Grazie mille! La pagina che mi hai linkato non l'avevo trovata! Mi sarà molto utile!!
Grazie ancora!
Scritta così è perfino più bella!!
Grazie mille! La pagina che mi hai linkato non l'avevo trovata! Mi sarà molto utile!!
Grazie ancora!
Prego, di niente. Ciao alla prossima! 
Ho continuato a lavorare sulla successione e sto realizzando un lavoro che, appena terminato, posterò in questo forum.
Intanto vorrei condividere con voi questa uguaglianza in cui mi sono imbattuto mentre lavoravo.
L'ho cercata ovunque senza trovarla, ma anche questa volta vi chiedo di controllarne l'originalità.
$ F(x+y-1)-F(x-2)*F(y-2)=F(y-x-3)*F(x)*F(x-1)+F(y-x)*F(x+1)^2 $
Ditemi cosa ne pensate.
Buona Pasqua a tutti!
Intanto vorrei condividere con voi questa uguaglianza in cui mi sono imbattuto mentre lavoravo.
L'ho cercata ovunque senza trovarla, ma anche questa volta vi chiedo di controllarne l'originalità.
$ F(x+y-1)-F(x-2)*F(y-2)=F(y-x-3)*F(x)*F(x-1)+F(y-x)*F(x+1)^2 $
Ditemi cosa ne pensate.
Buona Pasqua a tutti!
Non è difficile trovare uguaglianze "originali", basta prenderne un po' di note e sostituire un termine in una con la sua espressione data in un'altra, e continuare così iterativamente... cosa stai facendo nel tuo lavoro? Buona Pasqua!
cosa stai facendo nel tuo lavoro? Buona Pasqua!
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