Numero reale, non costruibile e tale che [...]
Hola!
Rieccomi alle prese con la Teoria di Galois... mi sono bloccato su un esercizio:
Trovare $\alpha \in RR$, $\alpha \notin D$ ($\alpha$ non costruibile) e tale che $[QQ[\alpha] : QQ] = 2^t$, $t \in NN$.
E' un esercizio per verificare come non vale un'implicazione inversa (ovvero $\alpha \in D \rarr [QQ[\alpha] : QQ] = 2^k$). Innanzitutto so che, se $QQ[\alpha] \/ QQ$ è Galois, l'implicazione inversa è invece vera e quindi devo cercare un'estensione non di Galois... inoltre banalmente elementi come $2^(1/4)$ e simili non vanno bene perchè una costruzione algebrica sarebbe banalmente $ { QQ, QQ[\sqrt(2)], QQ[\sqrt(2)][\sqrt\sqrt(2)] }$.
Da qui, nessuna idea seria (...che non sia naufragata nel giro di pochi minuti
), qualunque hint/aiuto è benvenuto 
Rieccomi alle prese con la Teoria di Galois... mi sono bloccato su un esercizio:
Trovare $\alpha \in RR$, $\alpha \notin D$ ($\alpha$ non costruibile) e tale che $[QQ[\alpha] : QQ] = 2^t$, $t \in NN$.
E' un esercizio per verificare come non vale un'implicazione inversa (ovvero $\alpha \in D \rarr [QQ[\alpha] : QQ] = 2^k$). Innanzitutto so che, se $QQ[\alpha] \/ QQ$ è Galois, l'implicazione inversa è invece vera e quindi devo cercare un'estensione non di Galois... inoltre banalmente elementi come $2^(1/4)$ e simili non vanno bene perchè una costruzione algebrica sarebbe banalmente $ { QQ, QQ[\sqrt(2)], QQ[\sqrt(2)][\sqrt\sqrt(2)] }$.
Da qui, nessuna idea seria (...che non sia naufragata nel giro di pochi minuti
), qualunque hint/aiuto è benvenuto
Risposte
Se lo vuoi fare per almeno un $t$, trovi un esempio qui a pagina 114 (la parte che riguarda la costruibilità): gli zeri di $x^4-4x+2$ hanno grado 4 e non sono costruibili.
Se lo vuoi fare per ogni $t$ la cosa diventa più complicata (immagino). Se riesci a trovare un'estensione di Galois con gruppo di Galois $S_{2^t}$ con $t>2$ allora puoi prendere un sottogruppo di indice $2^t$ (lo stabilizzatore di un punto), e scrivere l'intercampo corrispondente come $QQ(alpha)$. Questo $alpha$ avrà grado $2^t$ e la sua chiusura normale avrà grado $2^t!$, non una potenza di 2, quindi $alpha$ non sarà costruibile. Il problema è trovare un'estensione di Galois su $QQ$ con gruppo di Galois $S_n$ in generale (meno forte del "problema inverso di Galois"?).
Se lo vuoi fare per ogni $t$ la cosa diventa più complicata (immagino). Se riesci a trovare un'estensione di Galois con gruppo di Galois $S_{2^t}$ con $t>2$ allora puoi prendere un sottogruppo di indice $2^t$ (lo stabilizzatore di un punto), e scrivere l'intercampo corrispondente come $QQ(alpha)$. Questo $alpha$ avrà grado $2^t$ e la sua chiusura normale avrà grado $2^t!$, non una potenza di 2, quindi $alpha$ non sarà costruibile. Il problema è trovare un'estensione di Galois su $QQ$ con gruppo di Galois $S_n$ in generale (meno forte del "problema inverso di Galois"?).
No non sono ancora al livello di trovare tutti i $t$ ... il polinomio è proprio identico a quello che avevo pensato di usare io (o meglio, è un polinomio che avevamo trovato in classe e con gruppo di Galois $S_4$ quindi "speravo" potesse andare bene) ma ero ben lungi dal dimostrare non fosse costruibile 
Thanks
... il polinomio è proprio identico a quello che avevo pensato di usare io (o meglio, è un polinomio che avevamo trovato in classe e con gruppo di Galois $S_4$ quindi "speravo" potesse andare bene) ma ero ben lungi dal dimostrare non fosse costruibile Thanks
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo