Numero di elementi di struttura ciclica $(ab)(cde)$ in $S_5$.
Salve a tutti, ho un dubbio che non riesco proprio a risolvere. Passo subito al dunque:
Mi trovo nel gruppo simmetrico $S_5$, vorrei calcolare il numero degli elementi del tipo $(ab)(cde)$.
Comincio innanzitutto col dire che per $(ab)$ ho 10 possibilità, applicando la formula $1/r*n*(n-1)*....*(n-r+1)$. Considero i $(cde)$ siccome due elementi li ho già utilizzati allora me ne restano solo 3. Quindi ho due possibilità.
Calcolando il totale avrei allora $(10*2)/2$ permutazioni con quella struttura ciclica. Il problema è che il fattore $1/2$ non dovrebbe comparire. Cioé dovrei avere 20 elementi di quel tipo. Io avevo diviso per 2 poiché $(ab)(cde)=(cde)(ab)$. Perché in questo caso non bisogna dividere per 2, mentre nel caso $(ab)(cd)$ si??
Grazie a tutti.
Mi trovo nel gruppo simmetrico $S_5$, vorrei calcolare il numero degli elementi del tipo $(ab)(cde)$.
Comincio innanzitutto col dire che per $(ab)$ ho 10 possibilità, applicando la formula $1/r*n*(n-1)*....*(n-r+1)$. Considero i $(cde)$ siccome due elementi li ho già utilizzati allora me ne restano solo 3. Quindi ho due possibilità.
Calcolando il totale avrei allora $(10*2)/2$ permutazioni con quella struttura ciclica. Il problema è che il fattore $1/2$ non dovrebbe comparire. Cioé dovrei avere 20 elementi di quel tipo. Io avevo diviso per 2 poiché $(ab)(cde)=(cde)(ab)$. Perché in questo caso non bisogna dividere per 2, mentre nel caso $(ab)(cd)$ si??
Grazie a tutti.
Risposte
Abbandoniamo per un attimo le formule e ragioniamo in maniera combinatoria elementare.
Per $(ab)$: hai $5$ scelte possibili per $a$ e $4$ per $b$. Tuttavia la permutazione $(ab)$ è equivalente ad $(ba)$, dunque dividiamo per 2.
Per $(cde)$: hai $3$ scelte per $c$, $2$ per $b$ ed $1$ per $c$. Tuttavia $(cde)$ è equivalente a $(ecd)$ ed a $(dec)$. Pertanto dividiamo per un fattore 3. Quindi: $\frac{5\cdot4}{2}\cdot\frac{3\cdot2\cdot1}{3}=20$.
Dove non ritrovi il tuo ragionamento?
Per $(ab)$: hai $5$ scelte possibili per $a$ e $4$ per $b$. Tuttavia la permutazione $(ab)$ è equivalente ad $(ba)$, dunque dividiamo per 2.
Per $(cde)$: hai $3$ scelte per $c$, $2$ per $b$ ed $1$ per $c$. Tuttavia $(cde)$ è equivalente a $(ecd)$ ed a $(dec)$. Pertanto dividiamo per un fattore 3. Quindi: $\frac{5\cdot4}{2}\cdot\frac{3\cdot2\cdot1}{3}=20$.
Dove non ritrovi il tuo ragionamento?
Una possibile linea di ragionamento generale: per determinare il numero possibile di permutazioni con struttura ciclica $(k_{1},...,k_{n})$ in $\mathfrak{S}_{m}$ posso considerare $\frac{m!}{k_{1}\cdot...\cdot k_{n}}$.
Sei stato chiarissimo e ti ringrazio molto 
. Per verificare se ho capito faccio il seguente esempio:
Suppongo di essere in $S_6$ voglio trovare il numero di permutazioni del tipo $(ab)(cd)(ef)$.
Allora per a ho 6 scelte, per b ne ho 5. Per c ne ho 4 per d ne ho 3 per e ne ho 2 e per f ne ho 1.
Ricordando che una trasposizione può essere scritta in 2 modi diversi ottengo: $(6*5)/2*(4*3)/2*(2*1)/2=90$. Va bene così?
Altresì se volessi trovare quelli del tipo $(ab)(cde)$ in $S_6$, avrei $(6*5)/2*(4*3)/3$?
Grazie mille dell'aiuto.
. Per verificare se ho capito faccio il seguente esempio:Suppongo di essere in $S_6$ voglio trovare il numero di permutazioni del tipo $(ab)(cd)(ef)$.
Allora per a ho 6 scelte, per b ne ho 5. Per c ne ho 4 per d ne ho 3 per e ne ho 2 e per f ne ho 1.
Ricordando che una trasposizione può essere scritta in 2 modi diversi ottengo: $(6*5)/2*(4*3)/2*(2*1)/2=90$. Va bene così?
Altresì se volessi trovare quelli del tipo $(ab)(cde)$ in $S_6$, avrei $(6*5)/2*(4*3)/3$?
Grazie mille dell'aiuto.
Non è corretto.
Mi sono infatti reso conto solo ora di aver commesso un'ingenuità
La generalizzazione che ho prima enunciato è valido esclusivamente se $k_{i}\ne k_{j} \forall i\ne j$.
Infatti dobbiamo tener conto che cicli disgiunti commutano, pertanto, ad esempio in $\mathfrak{S}_{4}$, si ha che $(12)(34)=(34)(12)$.
Se avessi utilizzato la formula di prima avrei ottenuto che in $\mathfrak{S}_{4}$ sono presenti $6$ permutazioni del tipo $(ab)(cd)$ mentre in realtà ce ne sono esclusivamente $3$: $(12)(34),(13)(24),(14)(23)$.
Una corretta generalizzazione prevede quindi che il numero di permutazioni di struttura ciclica $(k_{1},...,k_{h})$ in $\mathfrak{S}_{n}$ è dato da $\frac{n!}{k_{1}\cdot...\cdot k_{h}}\cdot prod_{i}{\frac{1}{ v(k_{i})!}}$ dove con $v(k_{i})$ indico il numero di cicli di lunghezza $k_{i}$ all'interno della permutazione.
Mi sono infatti reso conto solo ora di aver commesso un'ingenuità
La generalizzazione che ho prima enunciato è valido esclusivamente se $k_{i}\ne k_{j} \forall i\ne j$.
Infatti dobbiamo tener conto che cicli disgiunti commutano, pertanto, ad esempio in $\mathfrak{S}_{4}$, si ha che $(12)(34)=(34)(12)$.
Se avessi utilizzato la formula di prima avrei ottenuto che in $\mathfrak{S}_{4}$ sono presenti $6$ permutazioni del tipo $(ab)(cd)$ mentre in realtà ce ne sono esclusivamente $3$: $(12)(34),(13)(24),(14)(23)$.
Una corretta generalizzazione prevede quindi che il numero di permutazioni di struttura ciclica $(k_{1},...,k_{h})$ in $\mathfrak{S}_{n}$ è dato da $\frac{n!}{k_{1}\cdot...\cdot k_{h}}\cdot prod_{i}{\frac{1}{ v(k_{i})!}}$ dove con $v(k_{i})$ indico il numero di cicli di lunghezza $k_{i}$ all'interno della permutazione.
Ma non avrei altresì che $(ab)(cde)=(cde)(ab)$? Sono pur sempre cicli disgiunti, no? Perché in questo caso non dovrei dividere per 2?
Grazie dell'aiuto.
Grazie dell'aiuto
.
Perché essendo di lunghezza differente non li stai contando due volte con quel procedimento 
E' proprio questo il passaggio che non riesco a farmi entrare in testa... 
.
.
Ti faccio un esempio, cercando di far capire il nodo.
Voglio vedere tutte le possibili permutazioni formate da due trasposizioni disgiunte.
Scelgo il primo elemento, sia 1, dopodiché scelgo il secondo, sia 3, poi il terzo, sia 5, ed infine il quarto, sia 2.
Allo stesso modo posso scegliere nell'ordine 5, 2, 1, 3.
Sto contando due permutazioni uguali come fossero distinte.
Ciò non accade con cicli di lunghezza diversa, perché la lunghezza diversa mi impedisce di "confonderli".
Voglio vedere tutte le possibili permutazioni formate da due trasposizioni disgiunte.
Scelgo il primo elemento, sia 1, dopodiché scelgo il secondo, sia 3, poi il terzo, sia 5, ed infine il quarto, sia 2.
Allo stesso modo posso scegliere nell'ordine 5, 2, 1, 3.
Sto contando due permutazioni uguali come fossero distinte.
Ciò non accade con cicli di lunghezza diversa, perché la lunghezza diversa mi impedisce di "confonderli".
Credo di aver capito . Grazie della pazienza Nulier 
. Grazie della pazienza Nulier
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo