Numero di $2-$Sylow
Ciao!
ho il seguente esercizio tratto da un testo d'esame:
allora intanto $60=5*3*2^2$
$1$ non può essere per semplicità
bisogna mostrare che $n_2 ne3$
supponiamo per assurdo che sia $n_2=3$
definisco $S$ l'insieme dei $2-$sylow di $G$ e $*:GtimesS->S$ come $gP=gPg^(-1)$
dalla equazione delle classi $abs(S)=abs(S_0)+sum_((i=1),(P_i in SsetminusS_0))^(r)[G:Stab(P_i)]$
si ottiene che $abs(S)=3$ per ipotesi di assurdo e che $abs(S_0)=0$ poichè $S_0$ contiene i $2-$sylow che sono normali e quindi per semplicità deve essere $S_0=emptyset$
quindi $sum_((i=1),(P_i in S))^(r)[G:Stab(P_i)]=sum_((i=1),(P_i in SsetminusS_0))^(r)[G:Stab(P_i)]=3$ con $rgeq1$
quindi dato un $P_i$ si ottiene $15=abs(G)/(abs(P_i))leq(abs(G))/(abs(Stab(P_i)))leq3$
di fatto $Stab(P_i)->P_i$ è una immersione tramite $g->gsg^(-1)$ per qualche $s in P_i$
il che torna l'assurdo cercato e pertanto deve essere $n_2 ne3$
Ho esame domattina
ho il seguente esercizio tratto da un testo d'esame:
dato un gruppo $G$ semplice di ordine $60$ mostrare che $n_2 in {5,15}$
allora intanto $60=5*3*2^2$
${(n_2 equiv1(mod2)),(n_2|15):} => {(n_2 equiv1(mod2)),(n_2 in {1,3,5,15}):}$
$1$ non può essere per semplicità
bisogna mostrare che $n_2 ne3$
supponiamo per assurdo che sia $n_2=3$
definisco $S$ l'insieme dei $2-$sylow di $G$ e $*:GtimesS->S$ come $gP=gPg^(-1)$
dalla equazione delle classi $abs(S)=abs(S_0)+sum_((i=1),(P_i in SsetminusS_0))^(r)[G:Stab(P_i)]$
si ottiene che $abs(S)=3$ per ipotesi di assurdo e che $abs(S_0)=0$ poichè $S_0$ contiene i $2-$sylow che sono normali e quindi per semplicità deve essere $S_0=emptyset$
quindi $sum_((i=1),(P_i in S))^(r)[G:Stab(P_i)]=sum_((i=1),(P_i in SsetminusS_0))^(r)[G:Stab(P_i)]=3$ con $rgeq1$
quindi dato un $P_i$ si ottiene $15=abs(G)/(abs(P_i))leq(abs(G))/(abs(Stab(P_i)))leq3$
di fatto $Stab(P_i)->P_i$ è una immersione tramite $g->gsg^(-1)$ per qualche $s in P_i$
il che torna l'assurdo cercato e pertanto deve essere $n_2 ne3$
Ho esame domattina
Risposte
Quindi stanotte non dormi …
L'obiettivo sarebbe questo ma fallirò miseramente
sono fatto vecchietto LOL
sono fatto vecchietto LOL
Spiritoso … 
Sbagliato purtroppo. $Stab(P_i)$ contiene $P_i$, quindi la disuguaglianza giusta è $|P_i| le |Stab(P_i)|$. $Stab(P_i)$ è il normalizzante di $P_i$.
L'argomento giusto è questo: siccome l'azione sui $P_i$ è transitiva chiamato $H=Stab(P_i)$ si ha $|G:H|=3$.
L'azione di moltiplicazione a sinistra di $G$ sulle 3 classi laterali sinistre di H in G dà un omomorfismo non banale $G to S_3$ che quindi è iniettivo perché $G$ è semplice.
Ma questo è assurdo perché $|G|>|S_3|$.
L'argomento giusto è questo: siccome l'azione sui $P_i$ è transitiva chiamato $H=Stab(P_i)$ si ha $|G:H|=3$.
L'azione di moltiplicazione a sinistra di $G$ sulle 3 classi laterali sinistre di H in G dà un omomorfismo non banale $G to S_3$ che quindi è iniettivo perché $G$ è semplice.
Ma questo è assurdo perché $|G|>|S_3|$.
Ciao martino 
in effetti non avevo nemmeno verificato che fosse iniettiva...
solo una precisazione
qui intendi l'azione di coniugio oppure già l'azione di moltiplicazione a sinistra?
"Martino":
Stab(Pi) contiene Pi, quindi la disuguaglianza giusta è |Pi|≤|Stab(Pi)|. Stab(Pi) è il normalizzante di Pi.
in effetti non avevo nemmeno verificato che fosse iniettiva...
solo una precisazione
"Martino":
siccome l'azione sui $P_i$ è transitiva
qui intendi l'azione di coniugio oppure già l'azione di moltiplicazione a sinistra?
L'azione di coniugio.
perfetto ti ringrazio
Prego, buon esame!
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