Numero dei k-cicli in un gruppo di permutazioni

[Søren13]

Mi è stato dato un gruppo di permutazioni su cinque elementi e mi è stato chiesto di trovare il numero di tutti i tipi di cicli. Sono riuscita a trovare quanti fossero i 2-cicli, i 3- cicli, i 4-cicli, i 5- cicli (rispettivamente 10, 20, 30, 24), un ciclo poi è l'identità, ma non so come calcolare il numero delle permutazioni il cui prodotto in cicli disgiunti è della forma trasposizione composto trasposizione e trasposizione composto tre - ciclo.
Come potrei fare?

[vict85]

Nell'ultimo caso il numero di permutazioni è identificato dal solo 3-ciclo, in quanto la trasposizione per cui lo stai moltiplicando deve commutare con lui. Il numero è quanti pari al numero dei 3-cicli.
Per quanto riguarda il penultimo caso, per ragioni di simmetria, la prima trasposizione contiene l'1 oppure 2 a seconda se la permutazione fissa o meno l'1. Tenendo conto di ciò, ci sono 4 permutazioni che contengono l'1 e ognuna di quelle possiede due trasposizioni che commutano. Quindi abbiamo 8 prodotti di 2 trasposizioni che muovono l'1. A queste devi aggiungere il numero di prodotti di 2 trasposizioni in \(S_4\) (prova a completare tu il ragionamento che ho fatto).