Numeri triangolari: somme
Salve a tutti. Ci sono delle formule tipo quelle per le terne pitagoriche, per determinare tutte le coppie di numeri triangolari che sommati danno come risultato un numero triangolare?
Grazie
Grazie
Risposte
Cioè? Fai un esempio … non ho capito cosa vuoi sapere di preciso …
Un esempio di ciò che potremmo chiamare una "terna triangolare" è questo:
6 + 15 = 21
in cui tutti e tre i numeri sono numeri tringolari. C'i sono delle formule, come quelle per le terne pitagoriche, per trovare tutte le terne di questo tipo?
6 + 15 = 21
in cui tutti e tre i numeri sono numeri tringolari. C'i sono delle formule, come quelle per le terne pitagoriche, per trovare tutte le terne di questo tipo?
... mmm ... ci sono tante "formule" inerenti i numeri triangolari ma una simile a quella che cerchi non l'ho mai incontrata ... vediamo se qualcun altro la conosce ...
Forse ho trovato qualcosa ma non è quello che stai cercando ...
Se $n^2$ è anche un numero triangolare allora $n^2=t_x=t_k+t_(k+1)$ (in quanto la somma di due numeri triangolari consecutivi è un numero quadrato).
Se $n^2$ è anche un numero triangolare allora $n^2=t_x=t_k+t_(k+1)$ (in quanto la somma di due numeri triangolari consecutivi è un numero quadrato).
Grazie comunque per l'interessamento!
In attesa che altri dicano la loro voglio condividere quanto ho escogitato in proprio. Magari qualcuno può suggerire qualche correzione.
Essendo noto che l'n-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula di Gauss
$ T_n = (n(n+1))/2 $
ho posto la seguente condizione:
$ (a(a+1))/2 + (b(b+1))/2 = (c(c+1))/2 $
portando a secondo membro una delle due frazioni e moltiplicando tutto per 2 si ottiene:
$ a(a+1) = c^2 – b^2 + c – b $
e quindi
$ a(a+1) = (c-b) (c+b+1)$
ora, ragionando similmente a come Diophanto fa per le terne pitagoriche, ho posto i due fattori del prodotto al secondo membro, il primo = q e il secondo =2p e ho ottenuto queste
$ c = (2p + q – 1)/2 $
$ b = (2p – q – 1)/2 $
che hanno soluzioni intere con q dispari e $2p > q + 1$ e p e q divisori non necessariamente primi.
Se conosciamo la scomposizione in fattori di un numero triangolare possiamo calcolare con il prodotto di 2 suoi divisori tutte le terne che lo contengono come addendo. Ad esempio
$ T_14 = 105 = 3*5*7 $
prodotti di 2 divisori:
$ (3) * (5*7) $
$ (5) * (3*7) $
$ (7) * (3*5) $
$ (1) * (3*5*7) $
otteniamo $(105 + 561 = 666)$, $(105 + 171 = 276)$, $(105 + 66 = 171)$, $(105 + 5460 = 5565)$
Il guaio di questa procedura però è che bisogna conoscere la scomposizione in fattori.
In attesa che altri dicano la loro voglio condividere quanto ho escogitato in proprio. Magari qualcuno può suggerire qualche correzione.
Essendo noto che l'n-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula di Gauss
$ T_n = (n(n+1))/2 $
ho posto la seguente condizione:
$ (a(a+1))/2 + (b(b+1))/2 = (c(c+1))/2 $
portando a secondo membro una delle due frazioni e moltiplicando tutto per 2 si ottiene:
$ a(a+1) = c^2 – b^2 + c – b $
e quindi
$ a(a+1) = (c-b) (c+b+1)$
ora, ragionando similmente a come Diophanto fa per le terne pitagoriche, ho posto i due fattori del prodotto al secondo membro, il primo = q e il secondo =2p e ho ottenuto queste
$ c = (2p + q – 1)/2 $
$ b = (2p – q – 1)/2 $
che hanno soluzioni intere con q dispari e $2p > q + 1$ e p e q divisori non necessariamente primi.
Se conosciamo la scomposizione in fattori di un numero triangolare possiamo calcolare con il prodotto di 2 suoi divisori tutte le terne che lo contengono come addendo. Ad esempio
$ T_14 = 105 = 3*5*7 $
prodotti di 2 divisori:
$ (3) * (5*7) $
$ (5) * (3*7) $
$ (7) * (3*5) $
$ (1) * (3*5*7) $
otteniamo $(105 + 561 = 666)$, $(105 + 171 = 276)$, $(105 + 66 = 171)$, $(105 + 5460 = 5565)$
Il guaio di questa procedura però è che bisogna conoscere la scomposizione in fattori.
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