Numeri razionali e reali
Ciao a tutti,oggi il professore ci ha spiegato la differenza fra i numeri razionali e reali,solo che non sono riuscita proprio a capirlo.Inoltre ha detto che con quelli reali è possibile eseguire l'ordinamento in particolare ha fatto riferimento all'assioma di completezza.
Ecco,gentilmente potreste illuminarmi sui questi punti che ho un po' di confusione a riguardo.
Grazie mille a tutti per la disponibilità
Ecco,gentilmente potreste illuminarmi sui questi punti che ho un po' di confusione a riguardo.
Grazie mille a tutti per la disponibilità
Risposte
Intanto un razionale è sempre della forma $m/n$ con $m,n \in \NN$ ($n \ne 0$), mentre per un reale questo non vale.
Da qui in poi non garantisco: vado a ricordi.
Il prof di analisi 1 - all'epoca - ha definito i numeri reali come limite di una successione infinita di numeri razionali: definizione che ci sta anche ma è molto contorta per chi è alle prime armi con l'analisi.
Per es, prendi $\sqrt(2)=1,4142135...$ esso è il limite di una successione $a_n$ definita (ad es.) in questo modo
$a_0=1$
$a_1=1,4$
$a_2=1,41$
$a_3=1,414$
...
$a_n$=approssimazione di $\sqrt(2)$ ad $n$ cifre decimali.
E' una successione che come limite ha proprio $\sqrt(2)$.
[ot]Due volte che ho risposto a due tuoi interventi e due gol della Juve: dov'è che hai postato che vado subito a risponderti???
[/ot]
Da qui in poi non garantisco: vado a ricordi.
Il prof di analisi 1 - all'epoca - ha definito i numeri reali come limite di una successione infinita di numeri razionali: definizione che ci sta anche ma è molto contorta per chi è alle prime armi con l'analisi.
Per es, prendi $\sqrt(2)=1,4142135...$ esso è il limite di una successione $a_n$ definita (ad es.) in questo modo
$a_0=1$
$a_1=1,4$
$a_2=1,41$
$a_3=1,414$
...
$a_n$=approssimazione di $\sqrt(2)$ ad $n$ cifre decimali.
E' una successione che come limite ha proprio $\sqrt(2)$.
[ot]Due volte che ho risposto a due tuoi interventi e due gol della Juve: dov'è che hai postato che vado subito a risponderti???
[/ot]
Ciao,
riguardo invece l'assioma di completezza,c'entra qualcosa con questo discorso?
ahah sono felice per la tua squadra..allora mi sincronizzo con il calendario di seria A e ogni incontro faccio domande a caso
riguardo invece l'assioma di completezza,c'entra qualcosa con questo discorso?
ahah sono felice per la tua squadra..allora mi sincronizzo con il calendario di seria A e ogni incontro faccio domande a caso
I numeri reali intuitivamente (ma forse neanche poi tanto intuitivamente) sono tutti quei numeri che si possono esprimere con un'espansione decimale (o in qualunque base, l'idea è che li puoi scrivere come "qualcosa virgola qualcosa", dove il secondo qualcosa può essere infinito e in particolare può anche non avere "alcuno schema ricorsivo").
Ovviamente questa non è una definizione formale, ma rende bene l'idea. Ancora meglio rende l'idea la definizione secondo la quale i numeri reali sono dati da tutti i possibili limiti di successioni di razionali (ma bisogna parlare un po' di topologia per definirli in questo modo).
L'idea fondamentale è che tutti i numeri razionali si possono scrivere come un rapporto di due numeri interi, mentre per i numeri reali questo non è richiesto, anzi, ci sono numeri reali (i cosiddetti irrazionali) che non si possono scrivere come rapporto di due numeri interi (ad esempio $\sqrt{2}$).
Per parlare dell'assioma di completezza bisogna introdurre il concetto di ordine sulla retta reale, e senza avere in mente cosa sono i numeri reali è difficile immaginarlo. Io mi trovo bene visualizzando i numeri reali come una retta infinita e "piena" nel senso che non c'è spazio per infilarci altri punti. Questo se vogliamo è proprio l'assioma di completezza. Infatti questo può essere formulato come segue:
"Presa comunque una partizione di tutti i punti di una retta in due sottoinsiemi, tale che nessun punto di un sottoinsieme giace tra due punti dell'altro, esiste un punto di un sottoinsieme che giace tra tutti gli altri punti di quel sottoinsieme e tutti i punti dell'altro."
In formule (più o meno):
Dati $A,B$ sottoinsiemi di una retta $R$ (e supponiamo che su $R$ ci sia un ordinamento, che si può visualizzare come il $\le$ dei numeri reali) tali che $A \cup B = R$ e $A \cap B = \emptyset$, e per ogni $a \in A$ e $b \in B$ si ha che $a \le b$, allora esiste un punto $c$ per cui $a \leq c \leq b$ per ogni $a \in A$ e per ogni $b \in B$. Chiamiamo questo $c$ elemento separatore.
Se vogliamo fare un esempio pratico, sulla retta reale prendiamo i due sottoinsiemi $A = \{ x : x^3 \le 2 \}$ e $B = \{ x : x^3 > 2\}$. Questi sono disgiunti e la loro unione è tutta la retta reale (perché per ogni $x$ almeno una delle due condizioni è certamente verificata). L'assioma di completezza garantisce che ci sia un punto che è più grande (o uguale) di tutti i punti di $A$ e più piccolo (o uguale) di tutti i punti di $B$. Nel nostro caso particolare questo numero è proprio la radice cubica di $2$, che dunque è il nostro elemento separatore.
Notiamo che l'assioma di completezza non vale nei numeri razionali; infatti i due sottoinsiemi $A$ e $B$ che abbiamo definito, definiscono una legittima partizione anche nei numeri razionali, ma non c'è alcun elemento separatore.
Ovviamente questa non è una definizione formale, ma rende bene l'idea. Ancora meglio rende l'idea la definizione secondo la quale i numeri reali sono dati da tutti i possibili limiti di successioni di razionali (ma bisogna parlare un po' di topologia per definirli in questo modo).
L'idea fondamentale è che tutti i numeri razionali si possono scrivere come un rapporto di due numeri interi, mentre per i numeri reali questo non è richiesto, anzi, ci sono numeri reali (i cosiddetti irrazionali) che non si possono scrivere come rapporto di due numeri interi (ad esempio $\sqrt{2}$).
Per parlare dell'assioma di completezza bisogna introdurre il concetto di ordine sulla retta reale, e senza avere in mente cosa sono i numeri reali è difficile immaginarlo. Io mi trovo bene visualizzando i numeri reali come una retta infinita e "piena" nel senso che non c'è spazio per infilarci altri punti. Questo se vogliamo è proprio l'assioma di completezza. Infatti questo può essere formulato come segue:
"Presa comunque una partizione di tutti i punti di una retta in due sottoinsiemi, tale che nessun punto di un sottoinsieme giace tra due punti dell'altro, esiste un punto di un sottoinsieme che giace tra tutti gli altri punti di quel sottoinsieme e tutti i punti dell'altro."
In formule (più o meno):
Dati $A,B$ sottoinsiemi di una retta $R$ (e supponiamo che su $R$ ci sia un ordinamento, che si può visualizzare come il $\le$ dei numeri reali) tali che $A \cup B = R$ e $A \cap B = \emptyset$, e per ogni $a \in A$ e $b \in B$ si ha che $a \le b$, allora esiste un punto $c$ per cui $a \leq c \leq b$ per ogni $a \in A$ e per ogni $b \in B$. Chiamiamo questo $c$ elemento separatore.
Se vogliamo fare un esempio pratico, sulla retta reale prendiamo i due sottoinsiemi $A = \{ x : x^3 \le 2 \}$ e $B = \{ x : x^3 > 2\}$. Questi sono disgiunti e la loro unione è tutta la retta reale (perché per ogni $x$ almeno una delle due condizioni è certamente verificata). L'assioma di completezza garantisce che ci sia un punto che è più grande (o uguale) di tutti i punti di $A$ e più piccolo (o uguale) di tutti i punti di $B$. Nel nostro caso particolare questo numero è proprio la radice cubica di $2$, che dunque è il nostro elemento separatore.
Notiamo che l'assioma di completezza non vale nei numeri razionali; infatti i due sottoinsiemi $A$ e $B$ che abbiamo definito, definiscono una legittima partizione anche nei numeri razionali, ma non c'è alcun elemento separatore.
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