Numeri primi gemelli
Se si considera la sequenza
10 25 45 70 100 135 175 220 ...
diversi numeri primi gemelli si possono trovare con la formula
(6 x an) + 1
(6 x an) - 1
Ad esempio:
a1 = 10 59, 61
a2 = 25 149, 151
Ovviamente non è sempre vero:
a18 = 945 5669 (primo), 5671 (non primo)
a22 = 1375 8249, 8251 non primi
a46 = 5635 33809, 33811 primi gemelli
Ci sono altre sequenze simili? Qualcuno è in grado di calcolare squanti primi gemelli si trovano usando i primi 1000 numeri della sequenza?
10 25 45 70 100 135 175 220 ...
diversi numeri primi gemelli si possono trovare con la formula
(6 x an) + 1
(6 x an) - 1
Ad esempio:
a1 = 10 59, 61
a2 = 25 149, 151
Ovviamente non è sempre vero:
a18 = 945 5669 (primo), 5671 (non primo)
a22 = 1375 8249, 8251 non primi
a46 = 5635 33809, 33811 primi gemelli
Ci sono altre sequenze simili? Qualcuno è in grado di calcolare squanti primi gemelli si trovano usando i primi 1000 numeri della sequenza?
Risposte
... Un computer? 
Scherzi a parte, una formula chiusa in situazioni come queste è al di là di ogni ragionevole speranza. Tutt'al più possiamo cercare delle formule asintotiche, che non sono solitamente banali da ricavare.
Detto questo, non posso dire nient'altro, perché, alla fine, la teoria analitica dei numeri la conosco quasi solo di sfuggita...
Scherzi a parte, una formula chiusa in situazioni come queste è al di là di ogni ragionevole speranza. Tutt'al più possiamo cercare delle formule asintotiche, che non sono solitamente banali da ricavare.
Detto questo, non posso dire nient'altro, perché, alla fine, la teoria analitica dei numeri la conosco quasi solo di sfuggita...
Maurer ha ragione quando scrive che "una formula chiusa in
situazioni come queste e' al di la' di ogni ragionevole speranza".
Similmente, non c'e' una formula chiusa per i numeri primi. Pero',
ci sono delle formule che producono tanti primi. L'esempio piu' famoso
e' il polinomio $f(x)=x^2 + x + 41$. Per ogni intero $x$ fra $-40$ e $40$,
il numero $f(x)$ e' primo. E' vero che per $x=40$ e tanti altri valori di $x$
il numero $f(x)$ non e' primo.
C'e' una struttura matematica bellissima dietro il polinomio $x^2 +x+41$.
Per esempio, il suo discriminante e' $-163$ e il fatto che
$e^{\pi\sqrt{163}}=262537412640768743.999999999999250072597\ldots$
e' quasi un numero intero, ha molto a che fare con il fatto che $x^2 + x + 41$
e' primo per ogni intero $x$ fra $-40$ e $40$.
Voglio solo dire che anche se loes non ci da una formula chiusa per i primi
gemelli, e' sempre interessante il fatto che la formula produca TANTI primi
gemelli. Perche' cosi' e'. Loes non lo dice, ma chi rifa i calcoli vedra' che
per $n \le 11$ si incontrano solo primi gemelli. Per $n\le 26$ ci sono
solo sei eccezioni!
Cerco di spiegare il perche'.
Supponiamo che $b_n$ sia una successione di numeri naturali
con la proprieta' che ne' $b_n+1$ ne' $b_n-1$ e' divisibile
per i numeri primi piccoli $2,3,5,7,11,13,17,19,23,\ldots$.
Allora considerazioni probabilistiche suggeriscono che non e' assurdo
sperare che ogni tanto sia $b_n+1$ che $b_n-1$ siano numeri primi
e quindi primi gemelli. Specialmente quando $b_n$ non e' troppo grande.
Analizziamo la succesione di loes.
Le differenze successive della successione di loes
$a_n=10, 25, 45, 70, 100, 135, 175, 220$
sono $15, 20,30,35,45,50$. Si tratta dell'inizio di una serie
aritmetica. Da questo deduciamo la formula
$a_n=\frac{5}{2}(n^2+3n)$ per $n=1,2,\ldots$.
Nella nostra notazione la successione rilevante e'
$b_n=6a_n = 15(n^2+3n)$.
E' evidente che $b_n\pm 1$ non e' mai divisibile ne' per $2$,
ne' per $3$ ne' per $5$. Per i primi $p\ge 7$ osserviamo che $p$
divide $b_n\pm 1$ per qualche $n$ se e solo se il polinomio
$15(X^2+3X)\pm 1$ ammette uno zero modulo~$p$.
Questo succede se e solo se il discriminante $45^2+4\cdot 15=2085$
risp. $45^2-4\cdot 15=1965$ e' un quadrato modulo~$p$.
Sorpresa: per i primi $p=7,11,13,17,19, 23$ ne' $2085$ ne' $1965$
sono quadrati modulo $p$!!
Questo e' notevole, visto che la probabilita' che due numeri random non siano
quadrati modulo nessuno dei primi $p=7,11,13,17,19,23$ e' $4^{-6}< 1/4000$.
Quindi, la successione di loes e' molto speciale. A priori, la probabilita' che
i numeri $b_n\pm 1$ nella sua successione siano primi gemelli e' molto
piu` alta del solito.
Ci saranno altre formule di questo tipo. Non so se $b_n=6a_n = 15(n^2+3n)$
e' molto spettacolare o se esiste qualche altro polinomio quadratico con
coefficieni piccoli che produce ancora piu' primi gemelli.
situazioni come queste e' al di la' di ogni ragionevole speranza".
Similmente, non c'e' una formula chiusa per i numeri primi. Pero',
ci sono delle formule che producono tanti primi. L'esempio piu' famoso
e' il polinomio $f(x)=x^2 + x + 41$. Per ogni intero $x$ fra $-40$ e $40$,
il numero $f(x)$ e' primo. E' vero che per $x=40$ e tanti altri valori di $x$
il numero $f(x)$ non e' primo.
C'e' una struttura matematica bellissima dietro il polinomio $x^2 +x+41$.
Per esempio, il suo discriminante e' $-163$ e il fatto che
$e^{\pi\sqrt{163}}=262537412640768743.999999999999250072597\ldots$
e' quasi un numero intero, ha molto a che fare con il fatto che $x^2 + x + 41$
e' primo per ogni intero $x$ fra $-40$ e $40$.
Voglio solo dire che anche se loes non ci da una formula chiusa per i primi
gemelli, e' sempre interessante il fatto che la formula produca TANTI primi
gemelli. Perche' cosi' e'. Loes non lo dice, ma chi rifa i calcoli vedra' che
per $n \le 11$ si incontrano solo primi gemelli. Per $n\le 26$ ci sono
solo sei eccezioni!
Cerco di spiegare il perche'.
Supponiamo che $b_n$ sia una successione di numeri naturali
con la proprieta' che ne' $b_n+1$ ne' $b_n-1$ e' divisibile
per i numeri primi piccoli $2,3,5,7,11,13,17,19,23,\ldots$.
Allora considerazioni probabilistiche suggeriscono che non e' assurdo
sperare che ogni tanto sia $b_n+1$ che $b_n-1$ siano numeri primi
e quindi primi gemelli. Specialmente quando $b_n$ non e' troppo grande.
Analizziamo la succesione di loes.
Le differenze successive della successione di loes
$a_n=10, 25, 45, 70, 100, 135, 175, 220$
sono $15, 20,30,35,45,50$. Si tratta dell'inizio di una serie
aritmetica. Da questo deduciamo la formula
$a_n=\frac{5}{2}(n^2+3n)$ per $n=1,2,\ldots$.
Nella nostra notazione la successione rilevante e'
$b_n=6a_n = 15(n^2+3n)$.
E' evidente che $b_n\pm 1$ non e' mai divisibile ne' per $2$,
ne' per $3$ ne' per $5$. Per i primi $p\ge 7$ osserviamo che $p$
divide $b_n\pm 1$ per qualche $n$ se e solo se il polinomio
$15(X^2+3X)\pm 1$ ammette uno zero modulo~$p$.
Questo succede se e solo se il discriminante $45^2+4\cdot 15=2085$
risp. $45^2-4\cdot 15=1965$ e' un quadrato modulo~$p$.
Sorpresa: per i primi $p=7,11,13,17,19, 23$ ne' $2085$ ne' $1965$
sono quadrati modulo $p$!!
Questo e' notevole, visto che la probabilita' che due numeri random non siano
quadrati modulo nessuno dei primi $p=7,11,13,17,19,23$ e' $4^{-6}< 1/4000$.
Quindi, la successione di loes e' molto speciale. A priori, la probabilita' che
i numeri $b_n\pm 1$ nella sua successione siano primi gemelli e' molto
piu` alta del solito.
Ci saranno altre formule di questo tipo. Non so se $b_n=6a_n = 15(n^2+3n)$
e' molto spettacolare o se esiste qualche altro polinomio quadratico con
coefficieni piccoli che produce ancora piu' primi gemelli.
La successione può anche essere scritta in modo più semplice e cioè:
2 5 9 14 20 27 35 ...
La successione ne genera poi delle altre moltiplicando ogni termine per un intero e aggiugendo / togliendo 1. Nel caso specifico di n = 30 si ritrovano le successioni che, affiancate contengono molti primi gemelli:
61 59
151 149
271 269
421 419
601 599
811 809
1051 1049
.... ....
A differenza del caso n = 30, ci sono valori di n (es. 4, 5,...) che generano pochi primi gemelli.
Nella serie di partenza, a meno dei primi due termini (2 e 5), in una rapida analisi dei termini successivi non ho trovato primi. Riesce qualcuno a fare un'analisi più completa?
2 5 9 14 20 27 35 ...
La successione ne genera poi delle altre moltiplicando ogni termine per un intero e aggiugendo / togliendo 1. Nel caso specifico di n = 30 si ritrovano le successioni che, affiancate contengono molti primi gemelli:
61 59
151 149
271 269
421 419
601 599
811 809
1051 1049
.... ....
A differenza del caso n = 30, ci sono valori di n (es. 4, 5,...) che generano pochi primi gemelli.
Nella serie di partenza, a meno dei primi due termini (2 e 5), in una rapida analisi dei termini successivi non ho trovato primi. Riesce qualcuno a fare un'analisi più completa?
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