Numeri primi gemelli
Leggendo Wikipedia, viene detto che tutte le coppie di numeri primi gemelli, fatta eccezione per (3;5), si possono scrivere come
$(6k-1;6k+1)$
Per qualche $k$
Come si dimostra questa proprietà?
Grazie a chi risponderà
$(6k-1;6k+1)$
Per qualche $k$
Come si dimostra questa proprietà?
Grazie a chi risponderà
Risposte
E' un esercizio semplice sulla congruenza modulo 3: visto che il primo p deve essere primo come p+2, allora né l'uno né l'altro possono essere divisi da 3, quindi p+1 lo deve essere, inoltre deve essere pari perché p è dispari.
@LLG GKV
In pratica un naturale nella divisione per 3 dà resto 0, 1 o 2. Ora se prendiamo i numeri naturali e li consideriamo tutti in modulo 3 abbiamo
0 1 2 0 1 2 ...
Quindi presi $p$ e $p+2$, visto che questi non possono essere divisibili per 3, si ha forzatamente che $p+1$ è multiplo di 3 (se così non fosse avremo 3 numeri consecutivi non divisibili per 3, il che è impossibile).
Ma $p+1$ è pari perché è compreso tra due primi. Quindi $p+1$ è multiplo di 6 e si ha $p=6k-1$
La coppia è dunque
$(6k-1;6k-1+2)$
$(6k-1;6k+1)$
È giusto il ragionamento?
(Ho scritto cose ovvie lo so
)
In pratica un naturale nella divisione per 3 dà resto 0, 1 o 2. Ora se prendiamo i numeri naturali e li consideriamo tutti in modulo 3 abbiamo
0 1 2 0 1 2 ...
Quindi presi $p$ e $p+2$, visto che questi non possono essere divisibili per 3, si ha forzatamente che $p+1$ è multiplo di 3 (se così non fosse avremo 3 numeri consecutivi non divisibili per 3, il che è impossibile).
Ma $p+1$ è pari perché è compreso tra due primi. Quindi $p+1$ è multiplo di 6 e si ha $p=6k-1$
La coppia è dunque
$(6k-1;6k-1+2)$
$(6k-1;6k+1)$
È giusto il ragionamento?
(Ho scritto cose ovvie lo so
)
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