Numeri primi di una certa forma

[spritzzeam]

Ciao a tutti! Ho qualche problema a fare questo esercizio:

Dimostrare che se un primo $p$ può essere scritto come $2x^2-2xy+3y^2$ allora non è della forma $20k+11$.

Anzi, diciamo che non ho la minima idea di dove cominciare onestamente

[vict85]

Cosa sono \(x\) e \(y\)?

[spritzzeam]

Giusto scusami, sono dei numeri interi

[vict85]

Sono un po' di anni che non mi occupo di queste cose, ma dovresti lavorare in modulo \(20\). Insomma, di fatto ti chiede di dimostrare che \(2x^2 - 2xy + 3y^2 \equiv 11\pmod{20}\) non ha soluzioni.

Io personalmente andrei per esclusione. Per esempio, \(2x(x - y)\) è certamente pari. Quindi, siccome \(11\) è dispari e fare il modulo con \(20\) non cambia la parità, \(y\) dovrà senz'altro essere dispari. A questo punto potresti teoricamente andare ad analizzarti tutte e 10 possibilità della \(y\), ma forse qualcuno ha qualche idea migliore.

[hydro1]

$x^2-2xy+3y^2=p$ se e solo se $(2x-y)^2+5y^2=2p$. Adesso studia questa come una congruenza modulo 5, usando il fatto che $2p\equiv 2 \mod 5$.