Numeri primi congrui a 1 mod 3
Buongiorno devo dimostrare questo enunciato ma non trovo nessuno modo per farlo, si trova tra gli esercizi sui domini euclidei ma proprio non vedo il collegamento
Sia $p$ un numero primo diverso da $3$. Dimostrare che $p=x^2+xy+y^2$ per certi $x,y\in\mathbb[Z]$ se e solo se $p\equiv1(mod 3)$
So che non si dovrebbe postare un esercizio senza scrivere almeno una propria idea ma non so proprio che fare
Sia $p$ un numero primo diverso da $3$. Dimostrare che $p=x^2+xy+y^2$ per certi $x,y\in\mathbb[Z]$ se e solo se $p\equiv1(mod 3)$
So che non si dovrebbe postare un esercizio senza scrivere almeno una propria idea ma non so proprio che fare
Risposte
Sia \(\displaystyle p\in\mathbb{P}\setminus\{3\}\) tale che
\[
\exists x,y\in\mathbb{Z}\mid p=x^2+xy+y^2;
\]
convinciti che \(\displaystyle [x^2]_3\in\{0_3,1_3\}\)...
\[
\exists x,y\in\mathbb{Z}\mid p=x^2+xy+y^2;
\]
convinciti che \(\displaystyle [x^2]_3\in\{0_3,1_3\}\)...
Così però dimostra solo un implicazione ($\Rightarrow$) per l'altra credo che ci voglia un lemma che sicuramente sta nel testo da dove ha preso l'esercizio.
Probabilmente si tratta di imitare la dimostrazione del fatto che i primi congrui a 1 modulo 4 sono somma di due quadrati (che sicuramente conosci) osservando che $x^2+y^2$ è l'omogeneizzato di $x^2+1$, che è il quarto polinomio ciclotomico, e $x^2+xy+y^2$ è l'omogeneizzato di $x^2+x+1$ che è il terzo polinomio ciclotomico.
Sono sicuro che sia così, nel caso posso fornire più dettagli.
Sono sicuro che sia così, nel caso posso fornire più dettagli.
@martino
Ci avevo pensato solo che non riesco ad riadattare il procedimento
Ci avevo pensato solo che non riesco ad riadattare il procedimento
Un'altra cosa che sarebbe interessante osservare è la possibilità o no di generalizzare questa cosa...mi spiego meglio.
Sia $p$ un numero primo maggiore di $n$. Allora $p=\Phi_n(x,y)$ per qualche $x,y \in ZZ$ se e solo se $p-= 1 \mod n$.
Sia $p$ un numero primo maggiore di $n$. Allora $p=\Phi_n(x,y)$ per qualche $x,y \in ZZ$ se e solo se $p-= 1 \mod n$.
@dan95 Questo e’ falso. Per esempio per $n=5$ non esistono $x,y\in ZZ$ con
$\Phi_5(x,y)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4$ uguale a $p=41$.
Una congettura piu’ sofisticata sarebbe di pensare che $p\equiv 1$ mod $n$
se e solo se $p$ e’ norma di qualche elemento di $ZZ[\zeta_n]$,
dove $\zeta_n$ indica una radice primitiva $n$-esima.
Questo e' vero per $n=5$, $7$, $8$, $\ldots$ Ma, in generale, e’ falso anche questo.
Per esempio per $n=23$ e $p=47$. Il problema e’ che gli anelli $ZZ[\zeta_n]$
non sono in generale domini ad ideali principali.
Il fatto che l’esercizio si trova tra gli esercizi sui domini euclidei,
suggerisce come procedere: dimostrare che l’anello $ZZ[\zeta_3]$
e’ euclideo e quindi ad ideali principali.
$\Phi_5(x,y)=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4$ uguale a $p=41$.
Una congettura piu’ sofisticata sarebbe di pensare che $p\equiv 1$ mod $n$
se e solo se $p$ e’ norma di qualche elemento di $ZZ[\zeta_n]$,
dove $\zeta_n$ indica una radice primitiva $n$-esima.
Questo e' vero per $n=5$, $7$, $8$, $\ldots$ Ma, in generale, e’ falso anche questo.
Per esempio per $n=23$ e $p=47$. Il problema e’ che gli anelli $ZZ[\zeta_n]$
non sono in generale domini ad ideali principali.
Il fatto che l’esercizio si trova tra gli esercizi sui domini euclidei,
suggerisce come procedere: dimostrare che l’anello $ZZ[\zeta_3]$
e’ euclideo e quindi ad ideali principali.
@Stickelberger
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