Numeri Primi, Classi Resto e Domini di Integrità
Ciao a tutti,
E' da circa 24h che cerco di capire bene una cosa che trovo intuitiva ma di cui mi sfugge la piena comprensione, trattasi del fatto che l'insieme quoziente composta dalla classi resto modulo n, non è in generale un dominio d'integrità. Infatti in Zn con n = 4, 2*2 = 0. Ma lo diventa se n è un numero primo.
Sono quasi sicuro che c'entra il lemma di Euclide che afferma che se n è primo e n divide ab, allora n divide a oppure b. cioè dico io n o è a o è b.
Vorrei capire cosa succede, attarverso un'esempio pratico quando n è primo. Ma non riesco a trovare le differenze se non in ambito teorico.
Es sia a = 32 e b = 4 mod n, con n = 7 (primo). Da cui 32 è congruente a 4 mod 7, infatti 28/7 = 4, data questa congruenza non riesco a capire cosa succede di diverso con n non primo.
Vi sarei grato di una spiegazione magari attraverso un esempio.
Grazie
E' da circa 24h che cerco di capire bene una cosa che trovo intuitiva ma di cui mi sfugge la piena comprensione, trattasi del fatto che l'insieme quoziente composta dalla classi resto modulo n, non è in generale un dominio d'integrità. Infatti in Zn con n = 4, 2*2 = 0. Ma lo diventa se n è un numero primo.
Sono quasi sicuro che c'entra il lemma di Euclide che afferma che se n è primo e n divide ab, allora n divide a oppure b. cioè dico io n o è a o è b.
Vorrei capire cosa succede, attarverso un'esempio pratico quando n è primo. Ma non riesco a trovare le differenze se non in ambito teorico.
Es sia a = 32 e b = 4 mod n, con n = 7 (primo). Da cui 32 è congruente a 4 mod 7, infatti 28/7 = 4, data questa congruenza non riesco a capire cosa succede di diverso con n non primo.
Vi sarei grato di una spiegazione magari attraverso un esempio.
Grazie
Risposte
Allora vediamo se riesco a capire il tuo dubbio...
Sia $n=4$:
e siano:
$a=nq_a+r_a$
$b=nq_b+r_b$
$ab= n^2q_aq_b + nq_ar_b+nq_br_a+r_ar_b$
Allora se:
$ab\equiv 0 (n)$
$r_ar_b\equiv 0 (n)$
Ovvero nel caso $n=4$
$r_ar_b=4$ ovvero $r_a|4$ oppure $r_b|4$ da cui $r_a,r_b in {1,2,0}
Nel caso $n=p$ con $p$ primo:
$r_ar_b=p$ ovvero $r_a|p$ oppure $r_b|p$ implica necessariamente che $r_a=0$ oppure $r_b=0$ ovvero $p|a$ oppure $p|b$.
Sia $n=4$:
e siano:
$a=nq_a+r_a$
$b=nq_b+r_b$
$ab= n^2q_aq_b + nq_ar_b+nq_br_a+r_ar_b$
Allora se:
$ab\equiv 0 (n)$
$r_ar_b\equiv 0 (n)$
Ovvero nel caso $n=4$
$r_ar_b=4$ ovvero $r_a|4$ oppure $r_b|4$ da cui $r_a,r_b in {1,2,0}
Nel caso $n=p$ con $p$ primo:
$r_ar_b=p$ ovvero $r_a|p$ oppure $r_b|p$ implica necessariamente che $r_a=0$ oppure $r_b=0$ ovvero $p|a$ oppure $p|b$.
Grazie della risposta.
Nella tua spiegazione parti dal presupposto che ab è congruente a 0, e se fosse congruente ad un numero diverso da 0.
Esempio di prima
32/7 ha q=4 e r= 4 e 4/7 q=0 e r=4, ora poichè hanno lo stesso resto sono congruenti e quindi fanno parte della stessa classe resto, modulo n.
In questo caso Zn dovrebbe essere un dominio di integrità ma non so come.
Questo sempre se ho capito bene questo argomento : - )
Grazie cmq Emanuele
Nella tua spiegazione parti dal presupposto che ab è congruente a 0, e se fosse congruente ad un numero diverso da 0.
Esempio di prima
32/7 ha q=4 e r= 4 e 4/7 q=0 e r=4, ora poichè hanno lo stesso resto sono congruenti e quindi fanno parte della stessa classe resto, modulo n.
In questo caso Zn dovrebbe essere un dominio di integrità ma non so come.
Questo sempre se ho capito bene questo argomento : - )
Grazie cmq Emanuele
Un dominio d'integrità in parole povere richiede che lo zero non abbia divisori!
Il tuo esempio non è probante, devi provare che non esiste in genere... non nel caso di scelta di due valori... e per altro appartenere alla stessa classe non ti porta a molto...
Il tuo esempio non è probante, devi provare che non esiste in genere... non nel caso di scelta di due valori... e per altro appartenere alla stessa classe non ti porta a molto...
Cerco di ragionarci su.
Allora nel libro di algebra si afferma quanto segue:
1) Zn è un campo;
2) Zn è un dominio di integrità;
3) se Zn è un dominio di integrità => n è primo
da 1) = > 2) è ovvio.
da 2) = > 3)
Per assurdo n non primo => n = a*b (a e b <> 0 appartenenti a Zn), => n=a*b=0 ma Zn è un dominio di integrità => che n è primo.
Non riesco a capire la funzione probante dell'ultima affermazione, cioè non capisco perchè Zn è un dominio di integrità se n è primo.
Potrebbe essere questa la spiegazione?? (l'unica che riesco a darmi)
1) se n è irriducibile significa che non può essere il prodotto di elemti diversi dall'unità cioè non fa parte dell'insieme degli invertibili, in altre parole se n è irridcucibile => che n = a*b, con a o b = 1.
2) In Z essere irriducibile = essere primo.
3) Zn non è sempre un dominio d'integrità ma è sempre un anello commutativo unitario, =>
=> se n è primo n = a*b con a o b = 1 oppure con a o b = n => a*b=n = a o b <> 0.
Questa è l'unica dimostrazione che mi convince, anche se vorrei vedere un esempio pratico se possibile partendo dalle congruenze modulo un numero primo.
Che ne pensi?
Grazie cmq
Allora nel libro di algebra si afferma quanto segue:
1) Zn è un campo;
2) Zn è un dominio di integrità;
3) se Zn è un dominio di integrità => n è primo
da 1) = > 2) è ovvio.
da 2) = > 3)
Per assurdo n non primo => n = a*b (a e b <> 0 appartenenti a Zn), => n=a*b=0 ma Zn è un dominio di integrità => che n è primo.
Non riesco a capire la funzione probante dell'ultima affermazione, cioè non capisco perchè Zn è un dominio di integrità se n è primo.
Potrebbe essere questa la spiegazione?? (l'unica che riesco a darmi)
1) se n è irriducibile significa che non può essere il prodotto di elemti diversi dall'unità cioè non fa parte dell'insieme degli invertibili, in altre parole se n è irridcucibile => che n = a*b, con a o b = 1.
2) In Z essere irriducibile = essere primo.
3) Zn non è sempre un dominio d'integrità ma è sempre un anello commutativo unitario, =>
=> se n è primo n = a*b con a o b = 1 oppure con a o b = n => a*b=n = a o b <> 0.
Questa è l'unica dimostrazione che mi convince, anche se vorrei vedere un esempio pratico se possibile partendo dalle congruenze modulo un numero primo.
Che ne pensi?
Grazie cmq
"emanuele78":
non capisco perchè Zn è un dominio di integrità se n è primo.
Secondo me e' piu' facile di quello che pensi. Innanzi tutto ti puoi convincere che vale il seguente lemma:
Lemma: se $p$ e' un numero primo e $n,m$ sono due interi positivi tali che $p$ divide $n*m$ allora $p$ divide almeno uno tra $n$ e $m$.
Dimostrazione: siccome $p$ divide $n*m$ allora $p$ e' un fattore primo di $n*m$. I fattori primi di $n*m$ sono esattamente i fattori primi di $n$ piu' i fattori primi di $m$, quindi $p$ e' un fattore primo di $n$ oppure di $m$. In altre parole $p$ divide $n$ oppure $p$ divide $m$.
Ora se sei in $ZZ//nZZ$ con $n$ primo prendi due elementi di prodotto nullo, $a,b \in ZZ$ con $a*b equiv 0\ mod(n)$. Allora $n$ divide $a*b$, quindi $n$ divide $a$ oppure $b$ (per il lemma), quindi almeno uno tra $a$ e $b$ e' zero in $ZZ//nZZ$.
Insomma: in $ZZ//nZZ$ i divisori di zero corrispondono agli interi che dividono $n$. Quindi non ci sono divisori propri di zero se e solo se $n$ non ha divisori propri, ovvero $n$ e' primo.
Chiaro
Il punto per capirlo è che tutto avviene in Zn, senza connessione con Z.
D'altronde le tre dimostrazioni date: la tua, quella del libro e la mia, sono equivalenti.
Per dimostrare che n è primo e che Zn è un dominio d'integrità è equivalente dimostrare che
1) se n è primo a*b = n = 0 se a o b sono 0
oppure
2) se n è primo a*b = n = a oppure b (con a e b <> o)
Il punto per capirlo è che tutto avviene in Zn, senza connessione con Z.
D'altronde le tre dimostrazioni date: la tua, quella del libro e la mia, sono equivalenti.
Per dimostrare che n è primo e che Zn è un dominio d'integrità è equivalente dimostrare che
1) se n è primo a*b = n = 0 se a o b sono 0
oppure
2) se n è primo a*b = n = a oppure b (con a e b <> o)
"emanuele78":
Cerco di ragionarci su.
Allora nel libro di algebra si afferma quanto segue:
1) Zn è un campo;
2) Zn è un dominio di integrità;
3) se Zn è un dominio di integrità => n è primo
da 1) = > 2) è ovvio.
da 2) = > 3)
Per assurdo n non primo => n = a*b (a e b <> 0 appartenenti a Zn), => n=a*b=0 ma Zn è un dominio di integrità => che n è primo.
Non riesco a capire la funzione probante dell'ultima affermazione, cioè non capisco perchè Zn è un dominio di integrità se n è primo.
Chiariamo bene di cosa parliamo. Siano $[a]_n$,$_n$ le classi resto modulo $n$ ove rispettivamente $a in [a]_n$ e $b in _n$. Se l'insieme delle classi resto modulo $n$ (ovvero $ZZ_n$) è un dominio d'integrità allora $[x]_n*[y]_n=0 Rightarrow [x]_n=[0]_n$ oppure $[y]_n=[0]_n$.
Se $n$ fosse composto allora $EEa|a!=1, a!=n: a|n$ e quindi in $ZZ_n$ avremmo che:
$[a]_n!=[0]_n$ e $[alpha]_n!=[0]_n$ dove $alpha=n/ain ZZ$ anche se:
$[a]_n*[alpha]_n=[0]_n$ allora $ZZ_n$ non è un dominio d'integrità.
Quindi:
$n$ composto $Rightarrow ZZ_n$ non di integrità!
Allora mediante negazione dell'asserzione soprastante:
$n$ primo $Rightarrow ZZ_n$ di integrità!
"Martino":
Lemma: se $p$ e' un numero primo e $n,m$ sono due interi positivi tali che $p$ divide $n*m$ allora $p$ divide almeno uno tra $n$ e $m$.
Ho sempre saputo che questa è la definizione di elemento primo...
"Dorian":
[quote="Martino"]
Lemma: se $p$ e' un numero primo e $n,m$ sono due interi positivi tali che $p$ divide $n*m$ allora $p$ divide almeno uno tra $n$ e $m$.
Ho sempre saputo che questa è la definizione di elemento primo...[/quote]
Anche secondo me, anche se nella teoria classica dei numeri questo è considerato un lemma. Questa è diventata la definizione di primo più tardi con lo studio algebrico degli anelli...
Ovviamente dipende da quale teoria si sta studiando... in Teoria dei Numeri è la più "classica" quella relativa ai divisori...(un numero si dice primo se non possiede divisori propri), mentre in Teoria degli Anelli è ovviamente differente come probabilmente in altri ambiti. Importante è che siano equivalenti.
"Dorian":
[quote="Martino"]
Lemma: se $p$ e' un numero primo e $n,m$ sono due interi positivi tali che $p$ divide $n*m$ allora $p$ divide almeno uno tra $n$ e $m$.
Ho sempre saputo che questa è la definizione di elemento primo...[/quote]
Io di solito quando parlo dei numeri primi intendo quei numeri "divisibili solo per 1 e per se stessi", mentre quando parlo di elementi primi in anelli generici intendo "tali che se dividono un prodotto dividono uno dei fattori". Credo che sia uso comune, dato che quando siamo nati ci hanno raccontato la prima di queste due definizioni
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