Numeri primi

[aram1]

Perchè nella definizione di numero primo, ad esempio in No in Z, bisogna escludere lo 0 e gli elementi invertibili (quindi in N l'1 e in Z +1 e -1)? Che problemi darebbe considerare primi anche questi ultimi?

[Kashaman]

Guarda, per definizione, in $ZZ$ un primo $p$è un numero che è divisibile solo per $-1,1,p,-p$.
Lo zero viene escluso,perché lo zero viene diviso da qualsiasi numero.
E' vero anche che $1,-1$ rispondono alla definizione di primo, si sceglie di non ritenerli primi per comodità.
Altrimenti cadrebbe l'unicità della fattorizzazione di un numero nel prodotto di primi. (TFA)

[aram1]

Per lo 0 concordo. Ma come può cadere l'unicità della fattorizzazione in numeri primi? Mi spiego: se un numero intero negativo lo scompongo nel prodotto di primi, è normale che compaia tra questi primi anche -1...

[gundamrx91-votailprof]

C'è anche la seguente definizione: un intero [tex]p[/tex] è primo se [tex]p|ab \Rightarrow p|a \lor p|b[/tex] con [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex].

[gundamrx91-votailprof]

"aram":Per lo 0 concordo. Ma come può cadere l'unicità della fattorizzazione in numeri primi? Mi spiego: se un numero intero negativo lo scompongo nel prodotto di primi, è normale che compaia tra questi primi anche -1...

Ma non sarebbe comunque unica la fattorizzazione.

[aram1]

non riesco a capire il perchè non sarebbe unica...potresti farmi un esempio? grazie mille

[Kashaman]

"GundamRX91":C'è anche la seguente definizione: un intero [tex]p[/tex] è primo se [tex]p|ab \Rightarrow p|a \lor p|b[/tex] con [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex].

in realtà ne esistono 3 equivalenti in $ZZ$.
Consideriamo $p in ZZ$ , $p$ diverso da $0,1,-1$. Siano $a,b in ZZ$

Sono equivalenti :
a) p è primo (definizione detta prima)
b) $p|ab => p|a vv p|b$ (definizione di elemento primo)
c) $p=ab =>$ $a $ invertibile oppure $b$ invertibile (definizione di elemento irriducibile)
queste tre definizioni in $ZZ$ coincidono, quindi è indifferente il modo con cui chiamo un numero primo.
Per capire perché si escludono $1,-1$
ti ricordo il teorema fondamentale dell'aritmetica.

Sia $a>1 in ZZ$ . Allora esistono $s$ primi , $p_1,p_2,....,p_s$ , tali che
$a=\prod_ip_i$
inoltre $s$ e $p_i$ sono univocamente determinati.

Bene, per l'esistenza, non ci sono problemi, anche includendo le unità di $ZZ$ si ha che esiste quella fattorizzazione.
Ma per l'unicità?
No.
Prendi ad esempio il numero $12$
esso è solito fattorizzarlo come $12=2^2*3$
se si includesse $1$ nei primi
si avrebbero infinite fattorizzazioni di $12$
infatti
$12=2^2*3*1$
$12=2^2*3*1*1*1*1*1....*1$ sono tutte fattorizzazioni di $12$. In particolare, non saprei quanti $1$ mettere visto che "vanno tutte bene" e di norma potrei mettere infiniti $1$ visto che $1$ è l'elemento idempotente di $ZZ$!!!
si minerebbe l'unicità dettata dal teorema.

[aram1]

grazie tante!

[Kashaman]

prego, sempre disponibile