Numeri iperreali

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Leggo la seguente descrizione dell'insieme dei numeri iperreali:

"V. Manca in Logica matematica":36tbwm3g:Consideriamo il modello \(\mathscr{R}\) dei numeri reali e sia \(\text{Th}(\mathscr{R})\) la teoria delle proposizioni che valgono in tale modello. Aggiungiamo a tale teoria l'insieme infinito di proposizioni \(\Phi=\{\exists x(nx\le 1)|n\in\omega\}\). Il modello \(\mathscr{R}\) non soddisfa $\Phi$, tuttavia, per ogni naturale non nullo $m$, \(\mathscr{R}\) soddisfa \(\{\exists x(nx\le 1)|n\le m\}\). Quindi, per il teorema di compattezza, \(\text{Th}(\mathscr{R})\cup\Phi\) ha un modello.

Se ogni sottoinsieme finito di $\Phi$ è della forma \(\{\exists x(nx\le 1)|n\le m\}\), mi è chiaro come il teorema di compattezza implichi che \(\text{Th}(\mathscr{R})\cup\Phi\) ha un modello.

Ciò che non mi è chiaro è che cosa siano esattamente \(\{\exists x(nx\le 1)|n\le m\}\) e \(\{\exists x(nx\le 1)|n\in\omega\}\). Infatti suppongo che $\omega$ non sia altro che $\mathbb{N}$ con il buon ordinamento definito dall'usuale \(\le\) e intepreterei quindi \(\{\exists x(nx\le 1)|n\in\omega\}\) come \(\{\exists x(x\le 1), \exists x(2x\le 1),\exists x(3x\le 1),...\}\), ma a me sembra che quest'ultimo sottoinsieme appartenga decisamente alla teoria dei numeri reali, a differenza di quanto afferma il testo per \(\Phi\).
Che cosa mi sfugge?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[Epimenide93]

"DavideGenova":suppongo che $\omega$ non sia altro che $\mathbb{N}$ con il buon ordinamento definito dall'usuale \(\le\)

Yep!

"DavideGenova":
Che cosa mi sfugge?

Probabilmente questo. In breve i reali sono un campo archimedeo[nota]grazie al cielo.[/nota], infatti, fissato un qualsiasi \(\varepsilon > 0\) allora \(\exists n \in \omega = \mathbb{N} : n \varepsilon > 1\), ovvero tutte le proposizioni in \(\Phi\) non appartengono alla teoria.

[DavideGenova1]

Perdonami, non capisco...
È giusto interpretare \(\{\exists x(nx\le 1)|n\in\omega\}\) come \(\{\exists x(x\le 1), \exists x(2x\le 1),\exists x(3x\le 1),...,\exists x(nx\le 1) ,...\}\)?
In tal caso\(\{\exists x(x\le 1), \exists x(2x\le 1),\exists x(3x\le 1),...\}\) non vale nella teoria dei reali, prendendo per ogni $n\in\omega$ come costante di Henkin per esempio \(\frac{1}{n+1}\), per cui si avrebbe \(1\cdot \frac{1}{1+1}\le 1, 2\cdot \frac{1}{2+1}\le 1,3\cdot \frac{1}{3+1}\le 1,...\), da cui a me pare che si veda che, per ogni $n\in\omega$, \(\exists x(nx\le 1)\)?
Scusa la durezza di comprendonio e $\omega$ grazie di tutto (anche per la risposta sul Mendelson)...

[Epimenide93]

"DavideGenova":Perdonami, non capisco...
È giusto interpretare \(\{\exists x(nx\le 1)|n\in\omega\}\) come \(\{\exists x(x\le 1), \exists x(2x\le 1),\exists x(3x\le 1),...,\exists x(nx\le 1) ,...\}\)?

Direi di no. Al massimo è \(\{\exists x[(x\le 1) \land (2x\le 1) \land (3x\le 1) \land \cdots \land (nx\le 1) \land \cdots]\}\).

[DavideGenova1]

\(\{\exists x\forall n\in\omega(nx\le 1)\}\), però, non sarebbe un insieme infinito di proposizioni \(\Phi\) tale che ogni suo sottoinsieme è della forma \(\{\exists x(nx\le 1)|n\le m\}\), od ho le travegole...?
Grazie ancora!!!

[Epimenide93]

"DavideGenova":\(\{\exists x\forall n\in\omega(nx\le 1)\}\), però, non sarebbe un insieme infinito di proposizioni \(\Phi\) tale che ogni suo sottoinsieme è della forma \(\{\exists x(nx\le 1)|n\le m\}\), od ho le travegole...?

In effetti... A questo punto l'unica cosa sensata è che si intendano \(\forall H \subseteq \omega\) le proposizioni \(\forall n \in H \exists x(xn \le 1)\), anche se quella scrittura per rappresentare una cosa del genere mi giungerebbe nuova. Purtroppo non possiedo quel testo. Lunedì se ho tempo provo a fare un salto in biblioteca, 'sta cosa mi incuriosisce.