Numeri interi e congruenza modulare
Buongiorno! Potreste aiutarmi a risolvere questi due esercizi? Non so proprio come devo impostarli e cosa fare per completarli...
1) Sia $a$ un numero razionale tale che $18a$ e $25a$ sono interi. Dimostrare che anche $a$ è un intero.
2) Determinare tutti i numeri interi $n$ tali che $(1^2)+(2^2)+...+(n^2)$ $-=$ $(1^3)+(2^3)+...+(n^3)$ $(mod. 5)$.
Del secondo esercizio so solamente che $(1^2)+(2^2)+...+(n^2)$ $=$ $(n(n+1)(2n+1))/6$ e $(1^3)+(2^3)+...+(n^3)$ $=$ $((n(n+1))/2)^2$. Inoltre per la definizione di congruenza modulare so che $5|$ $(n(n+1)(2n+1))/6$ $-$ $((n(n+1))/2)^2$. Da questo punto come faccio a definire gli $n$ interi richiesti dalla traccia dell'esercizio? Grazie anticipatamente a chi sarà disposto a darmi consigli utili per la risoluzione degli esercizi che ho proposto.
1) Sia $a$ un numero razionale tale che $18a$ e $25a$ sono interi. Dimostrare che anche $a$ è un intero.
2) Determinare tutti i numeri interi $n$ tali che $(1^2)+(2^2)+...+(n^2)$ $-=$ $(1^3)+(2^3)+...+(n^3)$ $(mod. 5)$.
Del secondo esercizio so solamente che $(1^2)+(2^2)+...+(n^2)$ $=$ $(n(n+1)(2n+1))/6$ e $(1^3)+(2^3)+...+(n^3)$ $=$ $((n(n+1))/2)^2$. Inoltre per la definizione di congruenza modulare so che $5|$ $(n(n+1)(2n+1))/6$ $-$ $((n(n+1))/2)^2$. Da questo punto come faccio a definire gli $n$ interi richiesti dalla traccia dell'esercizio? Grazie anticipatamente a chi sarà disposto a darmi consigli utili per la risoluzione degli esercizi che ho proposto.
Risposte
1) Prima escludi un caso molto banale: \(a=0\). Dunque procedi per assurdo. Se \(a\) fosse razionale non intero, allora \(\exists\,m,n\in\mathbb{Z}\setminus \{0\}\) coprimi, con \(n\neq 1\) e tali che \(a=m/n\); tuttavia \(a\) deve verificare
\[18a=\frac{18m}{n}\in\mathbb{Z},\,\,\,25a=\frac{25m}{n}\in\mathbb{Z}\]
L'unica possibilità, visto che \(m,n\) sono coprimi, è che \(n\,|\,18\) e \(n\,|\,25\). Ma \(18,25\) sono anch'essi coprimi e non possono avere un divisore non banale comune. Dunque \(n=1\), il che è assurdo e dunque \(a\) è un intero.
\[18a=\frac{18m}{n}\in\mathbb{Z},\,\,\,25a=\frac{25m}{n}\in\mathbb{Z}\]
L'unica possibilità, visto che \(m,n\) sono coprimi, è che \(n\,|\,18\) e \(n\,|\,25\). Ma \(18,25\) sono anch'essi coprimi e non possono avere un divisore non banale comune. Dunque \(n=1\), il che è assurdo e dunque \(a\) è un intero.
Il primo esercizio è stato egregiamente risolto ; per quanto concerne il secondo l'hai impostato bene , basta che continui nei calcoli dopo che sostieni che $ 5|(....) $ raccogli il denominatore e ottieni il tutto , ossia ? 
Attendo tue risposte
Attendo tue risposte
Grazie per l'aiuto!! Sei stato molto gentile! Ora mi metto al lavoro e risolvo il secondo esercizio! Appena termino ti faccio sapere come l'ho svolto. Grazie ancora!!!
Ciao Menale. Per quanto riguarda il secondo esercizio sono arrivato a questo punto (spero di aver fatto bene i conti): $5|((n^3 +1)(-n-2/3))/4$. Ma adesso come faccio a dimostrare che $5$ divide $((n^3 +1)(-n-2/3))/4$ 
Un aiutino... 
Un aiutino...
Non devi dimostrare che 5 divide quella quantità in modo definitivo ( nel qual caso procederesti per induzione) , ma per quali " n " 5 divide quella quantità
Inoltre attenzione ai conti !!
Credo di aver capito come si risolve l'esercizio. Allora rifacendo i conti ho notato di aver sbagliato qualche calcolo. Sono arrivato a questo punto:
$5|((n(n+1)(2n+1))/6)-((n(n+1))/2)^2 $ $=$ $...$ $=$ $(n(1-n^2)(3n+2))/12$ $=>$ $EE$ $t$ $in$ $ZZ$ tale che $5t$ $=$ $(n(1-n^2)(3n+2))/12$ $=>$ $t$ $=$ $(n(1-n^2)(3n+2))/60$. Pertanto sarebbero questi gli interi (cioè $t$ ) per i quali $5|((n(n+1)(2n+1))/6)-((n(n+1))/2)^2$?
Sono arrivato a questo punto: $5|((n(n+1)(2n+1))/6)-((n(n+1))/2)^2 $ $=$ $...$ $=$ $(n(1-n^2)(3n+2))/12$ $=>$ $EE$ $t$ $in$ $ZZ$ tale che $5t$ $=$ $(n(1-n^2)(3n+2))/12$ $=>$ $t$ $=$ $(n(1-n^2)(3n+2))/60$. Pertanto sarebbero questi gli interi (cioè $t$ ) per i quali $5|((n(n+1)(2n+1))/6)-((n(n+1))/2)^2$?
Io semplificherei il discorso dicendo che :
$ 5|(n((n+1)^2)(n-4/3)) $ ( rimettendo un pò assieme le cose e togliendo alcuni interi che non danno contributo ) . Pertanto gli interi per cui accade ciò , ossia divisibili per 5 , sono tutti :
$ n=5m $ , ossia i multipli di 5 ;
$ n -= -1 mod5 $ .
Saluti
$ 5|(n((n+1)^2)(n-4/3)) $ ( rimettendo un pò assieme le cose e togliendo alcuni interi che non danno contributo ) . Pertanto gli interi per cui accade ciò , ossia divisibili per 5 , sono tutti :
$ n=5m $ , ossia i multipli di 5 ;
$ n -= -1 mod5 $ .
Saluti
Non ti ho detto immediatamente la mia risoluzione per spronarti al ragionamento , diciamo che spingerti a crivellare le meningi
Sì è giusto che hai voluto spronarmi! Ho provato a trattare l'esercizio ma non ci sono riuscito... Grazie comunque per il tempo che hai perso per risolverlo e per spronarmi a continuarlo.
Un piacere !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo