Numeri complessi e sottoanelli
Speriamo questa volta di aver preso la sessione giusta.
L'esercizio riporta:
Mostrare che l'insieme di numeri complessi:
A= { a+b√-5 | a,b ∈ R}
è un sottoanello del campo C (numeri complessi). Stabilire se A è un campo o no,
Personalmente ecco cosa ho fatto, ma non ho la certezza sia corretto.
Dimostro che A è un sottogruppo additivo e un sottomonoide moltiplicativo di C. Per a=b=0 risulta a+b√-5=0 mentre per a=b=1 risulta a=1 e b=0 risulta a+b√-5=1. E' evidente che 0∈A e 1∈A
Prendo in considerazione x,y ∈ R, tali che x=a+b√-5 e c+d√-5, con a,b,c,d ∈ R
Avrò:
x-y= (a+b√-5) - (c+d√-5) = (a-c) + (b-d) √-5
a-c, b-d ∈ R, per cui anche x-y ∈ R
Questo dovrebbe dimostrare che A è un sottogruppo additivo di C (insieme numeri complessi).
E' corretta la dimostrazione fino ad ora?
L'esercizio riporta:
Mostrare che l'insieme di numeri complessi:
A= { a+b√-5 | a,b ∈ R}
è un sottoanello del campo C (numeri complessi). Stabilire se A è un campo o no,
Personalmente ecco cosa ho fatto, ma non ho la certezza sia corretto.
Dimostro che A è un sottogruppo additivo e un sottomonoide moltiplicativo di C. Per a=b=0 risulta a+b√-5=0 mentre per a=b=1 risulta a=1 e b=0 risulta a+b√-5=1. E' evidente che 0∈A e 1∈A
Prendo in considerazione x,y ∈ R, tali che x=a+b√-5 e c+d√-5, con a,b,c,d ∈ R
Avrò:
x-y= (a+b√-5) - (c+d√-5) = (a-c) + (b-d) √-5
a-c, b-d ∈ R, per cui anche x-y ∈ R
Questo dovrebbe dimostrare che A è un sottogruppo additivo di C (insieme numeri complessi).
E' corretta la dimostrazione fino ad ora?
Risposte
Ciao Efreet. esiste una facile caratterizzazione dei sottoanelli.
Sia $B$ un sottoinsieme non vuoto di $A$ . $B$ è un sottoanello di $A$
se $AA a,b in B : a-b in B$
e $AA a,b in B : ab in B$
sfrutta questo.
Ad occhio sembra che sia un sottoanello di di $C$.
Per verificare che è un campo, ti basta verificare che ogni elemento diverso da zero di $C$ è invertibile.
Sia $B$ un sottoinsieme non vuoto di $A$ . $B$ è un sottoanello di $A$
se $AA a,b in B : a-b in B$
e $AA a,b in B : ab in B$
sfrutta questo.
Ad occhio sembra che sia un sottoanello di di $C$.
Per verificare che è un campo, ti basta verificare che ogni elemento diverso da zero di $C$ è invertibile.
Proverò in questo modo, sembra più veloce e diretto. Di nuovo grazie Kashaman
Comunque il se in realtà è un se e solo se.... ti consiglio di dimostrarlo.
Comunque, per stabilire che quell'insieme è un campo, in particolar modo per verificare che tutti gli elementi sono invertibili, puoi ragionare sulla norma.
e sul fatto che
Comunque, per stabilire che quell'insieme è un campo, in particolar modo per verificare che tutti gli elementi sono invertibili, puoi ragionare sulla norma.
e sul fatto che
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