Numeri complessi
Allora... In linea di massima, li ho capiti. Ma ciò penso mi sfugga, è il senso.
Adesso cercerò di spiegarmi...
L'insieme dei numeri complessi C è definito come l'insieme delle coppie ordinate dei numeri REALI in cui siano definite le seguenti operazioni:
$(x1,y1) + (x2;y2)= (x1+x2; yi+y2)$
$(x1,y1) * (x2;y2)= (x1x2-y1y2;x1y2+x2y1)$
fin qui, ci sono.poi dice
"i numeri comlessi non reali sono detti numeri immaginari".
ma perché i numeri complessi sono anche reali? Ma quindi è un sottinsieme dei numeri reali, anzi, un suo prolungamento? boh
Adesso cercerò di spiegarmi...
L'insieme dei numeri complessi C è definito come l'insieme delle coppie ordinate dei numeri REALI in cui siano definite le seguenti operazioni:
$(x1,y1) + (x2;y2)= (x1+x2; yi+y2)$
$(x1,y1) * (x2;y2)= (x1x2-y1y2;x1y2+x2y1)$
fin qui, ci sono.poi dice
"i numeri comlessi non reali sono detti numeri immaginari".
ma perché i numeri complessi sono anche reali? Ma quindi è un sottinsieme dei numeri reali, anzi, un suo prolungamento? boh
Risposte
Se consideri i numeri complessi della classe [tex]$ R:= \{(x,0)\text{, con $x\in \mathbb{R}$}\}$[/tex] vedi che [tex]$R$[/tex] è chiusa rispetto alle operazioni di somma e prodotto ed è un sottocampo di [tex]$\mathbb{C}$[/tex]; allora puoi istituire un'applicazione [tex]$\phi :\mathbb{R} \ni x\mapsto (x,0) \in R$[/tex] che è un isomorfismo tra campi e ti permette di identificare [tex]$\mathbb{R}$[/tex] con [tex]$R$[/tex] (o, come si suol dire, ti permette di immergere [tex]$\mathbb{R}$[/tex] in [tex]$\mathbb{C}$[/tex]).
Pertanto, con abuso di notazione, puoi ritenere che [tex]$\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$[/tex].
Pertanto, con abuso di notazione, puoi ritenere che [tex]$\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$[/tex].
"gugo82":
Se consideri i numeri complessi della classe [tex]$ R:= \{(x,0)\text{, con $x\in \mathbb{R}$}\}$[/tex] vedi che [tex]$R$[/tex] è chiusa rispetto alle operazioni di somma e prodotto ed è un sottocampo di [tex]$\mathbb{C}$[/tex]; allora puoi istituire un'applicazione [tex]$\phi :\mathbb{R} \ni x\mapsto (x,0) \in R$[/tex] che è un isomorfismo tra campi e ti permette di identificare [tex]$\mathbb{R}$[/tex] con [tex]$R$[/tex] (o, come si suol dire, ti permette di immergere [tex]$\mathbb{R}$[/tex] in [tex]$\mathbb{C}$[/tex]).
Pertanto, con abuso di notazione, puoi ritenere che [tex]$\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$[/tex].
grazie. ma in sostanza, cos'è che differenzia $\mathbb{R^2}$ da C? l'operazione di prodotto?
Esatto.
In [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] non hai definito un prodotto interno, nel senso che non hai definito un'operazione di moltiplicazione [tex]$\cdot: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$[/tex] ma, come ti insegnano in Geometria ed Algebra Lineare, hai definiti solo un prodotto per uno scalare reale (cioè una cosa del tipo [tex]$\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \ni (\alpha , (x,y)) \mapsto (\alpha x,\alpha x) \in \mathbb{R}^2$[/tex]) che serve per introdurre la struttura di spazio vettoriale od un prodotto scalare (cioè una cosa del tipo [tex]$\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \ni ((x_1,y_1),(x_2,y_2))\mapsto x_1x_2+y_1y_2 \in \mathbb{R}$[/tex]) che serve per introdurre la struttura di spazio metrico.
Questo fatto sembra niente, eppure genera fenomeni strani, come vedrai se studierai Analisi Complessa.
In [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] non hai definito un prodotto interno, nel senso che non hai definito un'operazione di moltiplicazione [tex]$\cdot: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$[/tex] ma, come ti insegnano in Geometria ed Algebra Lineare, hai definiti solo un prodotto per uno scalare reale (cioè una cosa del tipo [tex]$\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \ni (\alpha , (x,y)) \mapsto (\alpha x,\alpha x) \in \mathbb{R}^2$[/tex]) che serve per introdurre la struttura di spazio vettoriale od un prodotto scalare (cioè una cosa del tipo [tex]$\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \ni ((x_1,y_1),(x_2,y_2))\mapsto x_1x_2+y_1y_2 \in \mathbb{R}$[/tex]) che serve per introdurre la struttura di spazio metrico.
Questo fatto sembra niente, eppure genera fenomeni strani, come vedrai se studierai Analisi Complessa.
Perfetto, grazie mille 
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