Numerabilità di un insieme numerico
Perché l’insieme dei numeri interi relativi è numerabile? Io rispondo così:
i suoi elementi si possono mettere in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali.
Se dovessi rispondere alla domanda perché l’insieme dei numeri naturali è numerabile, mi viene da dire perché i suoi
elementi si possono mettere in corrispondenza biunivoca con se stessi oppure è numerabile per definizione (non so come si scrive con i simboli).
Mi date una risposta più matematica?
i suoi elementi si possono mettere in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali.
Se dovessi rispondere alla domanda perché l’insieme dei numeri naturali è numerabile, mi viene da dire perché i suoi
elementi si possono mettere in corrispondenza biunivoca con se stessi oppure è numerabile per definizione (non so come si scrive con i simboli).
Mi date una risposta più matematica?
Risposte
@marcus112,
non capisco una cosa, ti riferisci all"\(\text{insieme dei numeri naturali}=\Bbb{N}\) o all'\(\text{insieme dei numeri interi relativi}=\Bbb{Z}\)? E poi, dalla definizione di insieme numerabile:
se \( f \) è la funzione identità in \( \Bbb{N}\), \(f \doteq \mathrm{id}_\Bbb{N}\), allora \( \Bbb{N} \) è numerabile (se la cosa non ti convince puoi verificare che \(f \) è biiettiva
)!
Saluti
P.S.=Più che altro, ora che abbiamo "matematizzato" ciò che hai detto, ti faccio una domanda, \(\Bbb{Z} \) è numerabile? Ovvero \( \exists g \in \Bbb{N}^\Bbb{Z}(g\text{ è biiettiva})\)?
"marcus112":
Perché l’insieme dei numeri interi relativi è numerabile? Io rispondo così:
i suoi elementi si possono mettere in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali.
Se dovessi rispondere alla domanda perché l’insieme dei numeri naturali è numerabile, mi viene da dire perché i suoi
elementi si possono mettere in corrispondenza biunivoca con se stessi oppure è numerabile per definizione (non so come si scrive con i simboli).
Mi date una risposta più matematica?
non capisco una cosa, ti riferisci all"\(\text{insieme dei numeri naturali}=\Bbb{N}\) o all'\(\text{insieme dei numeri interi relativi}=\Bbb{Z}\)? E poi, dalla definizione di insieme numerabile:
sia dato \(A \) un insieme, \(A \) è numerabile se \( \exists f \in \Bbb{N}^A(f \text{ è biiettiva})\)
se \( f \) è la funzione identità in \( \Bbb{N}\), \(f \doteq \mathrm{id}_\Bbb{N}\), allora \( \Bbb{N} \) è numerabile (se la cosa non ti convince puoi verificare che \(f \) è biiettiva
)!Saluti
P.S.=Più che altro, ora che abbiamo "matematizzato" ciò che hai detto, ti faccio una domanda, \(\Bbb{Z} \) è numerabile? Ovvero \( \exists g \in \Bbb{N}^\Bbb{Z}(g\text{ è biiettiva})\)?
Mi riferivo a $ZZ$....alla domanda se $ZZ$ è numerabile rispondo di si.... ma la mia domanda è:
come faccio a dire che $NN$ è numerabile?
Grazie
come faccio a dire che $NN$ è numerabile?
Grazie
@marcus112,
ti basta applicare la definizione che ho scritto , ovvero esiste una funzione biiettiva da \( \Bbb{N} \) a \( \Bbb{N}\)? Se esiste allora puoi concludere che \(\Bbb{N}\) è numerabile! Come ho già scritto, la funzione che meglio si presta a soddisfare, non è l'unica, la "numerabilità di \(\Bbb{N}\)" è \(f: \Bbb{N}\to \Bbb{N}\) ove \( f\doteq \operatorname{id}_\Bbb{N}\) nota[nota]se \( f\doteq \operatorname{id}_\Bbb{N}\) allora \( \forall x \in \Bbb{N}(f(x)=x)\)..[/nota], e in effetti \(f\) è biiettiva ergo \(\Bbb{N}\) è numerabile (elementare, no?! )!
Saluti
P.S.= Tu rispondi di si alla domanda se \( \Bbb{Z}\) è numerabile, io ti domando ulteriormente quale funzione hai usato per (di)mostrare la "numerabilità di \(\Bbb{Z}\)"? Ricordati anche che se riesci a trovare una funzione \(g:\Bbb{N} \to \Bbb{Z}\) biiettiva allora la sua inversa può essere una candidata (ma questo penso forse lo sapevi, in effetti molti per definire la numerabilità prendono una funzione \( g \in A^\Bbb{N}\) )! Quella che ho usato io (per complicarmi la vita), data la funzione $$g: \Bbb{N} \to \Bbb{Z}\;, \forall x \in \Bbb{N}\left ( g(x) = (-1)^x \cdot \left \lfloor \frac{(x+1)}{2} \right \rfloor \right )$$ \(g\) è biiettiva allora \( g^{-1}:\Bbb{Z}\to \Bbb{N}\) è anche biiettiva ergo \( Z \) è numerabile, ma non penso hai usato la stessa funzione , se ne trovano di più semplici in effetti.. basta pensarci un pò
"marcus112":
Mi riferivo a $ZZ$....alla domanda se $ZZ$ è numerabile rispondo di si.... ma la mia domanda è:
come faccio a dire che $NN$ è numerabile?
Grazie
ti basta applicare la definizione che ho scritto
, ovvero esiste una funzione biiettiva da \( \Bbb{N} \) a \( \Bbb{N}\)? Se esiste allora puoi concludere che \(\Bbb{N}\) è numerabile! Come ho già scritto, la funzione che meglio si presta a soddisfare, non è l'unica, la "numerabilità di \(\Bbb{N}\)" è \(f: \Bbb{N}\to \Bbb{N}\) ove \( f\doteq \operatorname{id}_\Bbb{N}\) nota[nota]se \( f\doteq \operatorname{id}_\Bbb{N}\) allora \( \forall x \in \Bbb{N}(f(x)=x)\)..[/nota], e in effetti \(f\) è biiettiva ergo \(\Bbb{N}\) è numerabile (elementare, no?! )!Saluti
P.S.= Tu rispondi di si alla domanda se \( \Bbb{Z}\) è numerabile, io ti domando ulteriormente quale funzione hai usato per (di)mostrare la "numerabilità di \(\Bbb{Z}\)"? Ricordati anche che se riesci a trovare una funzione \(g:\Bbb{N} \to \Bbb{Z}\) biiettiva allora la sua inversa può essere una candidata (ma questo penso forse lo sapevi
, in effetti molti per definire la numerabilità prendono una funzione \( g \in A^\Bbb{N}\) )! Quella che ho usato io (per complicarmi la vita), data la funzione $$g: \Bbb{N} \to \Bbb{Z}\;, \forall x \in \Bbb{N}\left ( g(x) = (-1)^x \cdot \left \lfloor \frac{(x+1)}{2} \right \rfloor \right )$$ \(g\) è biiettiva allora \( g^{-1}:\Bbb{Z}\to \Bbb{N}\) è anche biiettiva ergo \( Z \) è numerabile, ma non penso hai usato la stessa funzione , se ne trovano di più semplici in effetti.. basta pensarci un pò
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