Numerabilità

[Dorian1]

Siano $P$ e $S$ due insiemi formati da un'infinità numerabile di punti. Che si può dire di $S uu P$ ???

[Sk_Anonymous]

Che si può dire di $S uu P$ ? che è formato da un'infinità numerabile di punti.

[Dorian1]

Ok. Allora si pensi a $QQ$. Si deve a Cantor la dimostrazione della sua numerabilità.
Ora, note le proprità di densità dei razionali e degli irrazionali nei reali, seguendo un ragionamento un pò "naif", diremmo che gli $z in RR - QQ$ sono "tanti quanti" i $q in QQ$... Vale a dire che $RR-QQ$ è equipotente a $QQ$, il quale ha la stessa cardinalità di $NN$.
Allora $QQ uu (RR - QQ) = RR$ dev'essere numerabile, perchè unione di due insiemi numerabili. Ma Cantor, ancora lui, dimostrò che non è così.
Dov'è sbagliato questo ragionamento???

[Studente Anonimo]

"Dorian":Dov'è sbagliato questo ragionamento???

Proprio nella parte "naif", evidentemente

[Dorian1]

Quindi $RR-QQ$ ha cardinalità maggiore di $QQ$???

[Studente Anonimo]

"Dorian":Quindi $RR-QQ$ ha cardinalità maggiore di $QQ$???

Beh, sì (l'hai appena dimostrato)

[Dorian1]

Esiste una dimostrazione che non funzioni per "esclusione"? Intendo dire, $RR-QQ$ ha cardinalità maggiore di $QQ$, secondo questo ragionamento, solo perchè altrimenti qualcos'altro non "funziona" (una specie di dimostrazione per assurdo, insomma...)...

[Studente Anonimo]

Intendi una dimostrazione "costruttiva"? Se ce ne sono, io non ne conosco...

[Dorian1]

Si, intendo dire "costruttiva". Mi documenterò a riguardo...

[Yak52]

io mi ricordo che unioni numerabili di insiemi numerabili sono numerabili...

[Gaal Dornick]

A sto punto è più semplice come è già stata fatta:
per assurdo supponiamo che $RR-QQ$ è numerabile, $QQ$ è numerabile, allora poichè unione di due insiemi numerabili è numerabile, anche $RR=QQ cup (RR-QQ)$ è numerabile. Assurdo.

Se per questo anche unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile! Consiglio: "L'hotel straordinario,o il milleunesimo viaggio di Ion il Tranquillo" (Stanislaw Lem), simpatica storiella su queste cose..