Num. interi rappresentati mediante una base di numeri primi
Premetto che in matematica sono assai ignorante (finora sono intervenuto solo nella sezione di fisica), per cui mi scuso se userò un linguaggio rozzo e improprio, da ingegnere quale io sono. 
Mi è capitato di immaginare una rappresentazione dei numeri interi sulla quale non so se esista letteratura. Nel caso affermativo vorrei sapere dove trovare testi che ne parlano. E in particolare ho un quesito specifico. Espongo l'idea e il relativo quesito.
Assumiamo una base di numeri primi arbitraria; ad esempio [tex][2,3,5,7][/tex].
Prendiamo adesso un mumero intero qualsiasi compreso tra 0 e 209 (ovvero un numero minore del prodotto 2*3*5*7=210), ad esempio 187.
Troviamo il resto della divisione del numero suddetto per ciascun elemento della base. Nel caso del numero 187 otteniamo la quaterna [tex](1,1,2,5)[/tex]. Ebbene questa quaterna identifica univocamente, tra tutti i numeri interi minori di 210, il numero 187 nella rappresentazione basata sui numeri primi scelti. Questa unicità penso non sia difficile da dimostrare, ma io non mi ci provo nemmeno perché non è il mio campo e potrei commettere errori grossolani, però l'ho ampiamente sperimentata per cui immagino sia vera.
Se viceversa scegliamo una quaterna di cifre, ciascuna maggiore di zero e minore dell'elemento di base corrispondente, ad esempio [tex](1,2,3,6)[/tex] ed effettuiamo il calcolo inverso (con un algoritmo che non è difficile da implementare) otteniamo il numero rappresentato nel modo usuale, che in questo caso è 83.
Questo è il metodo di rappresentazione.
A questo punto il problema che mi sono posto è: scelto un sottoinsieme di numeri rappresentabili in tale modo, riuscire a trovare un criterio di massimo e di minimo. Mi spiego meglio.
Se l'insieme è costituito da tutti i numeri rappresentabili con quaterne di cifre consentite, ovvero
[tex]\begin{array}{l}
({n_2},{n_3},{n_5},{n_7}) \\
0 \le {n_2} < 2 \\
0 \le {n_3} < 3 \\
0 \le {n_5} < 5 \\
0 \le {n_7} < 7 \\
\end{array}[/tex]
è evidente che il numero minimo è [tex](0,0,0,0) \equiv 0[/tex] e il numero massimo è [tex](1,2,4,6) \equiv 209[/tex].
Ma se invece scegliamo un sottoinsieme di cifre consentite, ad esempio.
[tex]\begin{array}{l}
0 \le {n_2} < 2 \\
{n_3} = 1 \\
{n_5} = 0\;,\;2 \\
{n_7} = 2\;,\;3 \\
\end{array}[/tex]
ebbene io non sono riuscito a trovare un criterio sintetico e rapido per individuare, ad esempio, quale sia il numero minimo facente parte del sottoinsieme.
Naturalmente è possibile sviluppare tutte le combinazioni e confrontare i risultati, e nel caso presente si scopre che il numero minimo così rappresentabile è [tex](0,1,0,3) \equiv 10[/tex].
Però questa prova, facilmente fattibile con un foglio excel in questo semplice caso di 4 cifre e di poche combinazioni, diventerebbe impossibile da eseguirsi se la base fosse molto ampia e il sottoinsieme molto esteso.
La mia domanda dunque è: esiste un metodo per determinare il minimo numero facente parte del sottoinsieme scelto, che non sia quello di eseguire banalmente l'intero sviluppo e andare alla ricerca del risultato più basso?
E la domanda più generale è: esiste letteratura in merito?
Grazie
Mi è capitato di immaginare una rappresentazione dei numeri interi sulla quale non so se esista letteratura. Nel caso affermativo vorrei sapere dove trovare testi che ne parlano. E in particolare ho un quesito specifico. Espongo l'idea e il relativo quesito.
Assumiamo una base di numeri primi arbitraria; ad esempio [tex][2,3,5,7][/tex].
Prendiamo adesso un mumero intero qualsiasi compreso tra 0 e 209 (ovvero un numero minore del prodotto 2*3*5*7=210), ad esempio 187.
Troviamo il resto della divisione del numero suddetto per ciascun elemento della base. Nel caso del numero 187 otteniamo la quaterna [tex](1,1,2,5)[/tex]. Ebbene questa quaterna identifica univocamente, tra tutti i numeri interi minori di 210, il numero 187 nella rappresentazione basata sui numeri primi scelti. Questa unicità penso non sia difficile da dimostrare, ma io non mi ci provo nemmeno perché non è il mio campo e potrei commettere errori grossolani, però l'ho ampiamente sperimentata per cui immagino sia vera.
Se viceversa scegliamo una quaterna di cifre, ciascuna maggiore di zero e minore dell'elemento di base corrispondente, ad esempio [tex](1,2,3,6)[/tex] ed effettuiamo il calcolo inverso (con un algoritmo che non è difficile da implementare) otteniamo il numero rappresentato nel modo usuale, che in questo caso è 83.
Questo è il metodo di rappresentazione.
A questo punto il problema che mi sono posto è: scelto un sottoinsieme di numeri rappresentabili in tale modo, riuscire a trovare un criterio di massimo e di minimo. Mi spiego meglio.
Se l'insieme è costituito da tutti i numeri rappresentabili con quaterne di cifre consentite, ovvero
[tex]\begin{array}{l}
({n_2},{n_3},{n_5},{n_7}) \\
0 \le {n_2} < 2 \\
0 \le {n_3} < 3 \\
0 \le {n_5} < 5 \\
0 \le {n_7} < 7 \\
\end{array}[/tex]
è evidente che il numero minimo è [tex](0,0,0,0) \equiv 0[/tex] e il numero massimo è [tex](1,2,4,6) \equiv 209[/tex].
Ma se invece scegliamo un sottoinsieme di cifre consentite, ad esempio.
[tex]\begin{array}{l}
0 \le {n_2} < 2 \\
{n_3} = 1 \\
{n_5} = 0\;,\;2 \\
{n_7} = 2\;,\;3 \\
\end{array}[/tex]
ebbene io non sono riuscito a trovare un criterio sintetico e rapido per individuare, ad esempio, quale sia il numero minimo facente parte del sottoinsieme.
Naturalmente è possibile sviluppare tutte le combinazioni e confrontare i risultati, e nel caso presente si scopre che il numero minimo così rappresentabile è [tex](0,1,0,3) \equiv 10[/tex].
Però questa prova, facilmente fattibile con un foglio excel in questo semplice caso di 4 cifre e di poche combinazioni, diventerebbe impossibile da eseguirsi se la base fosse molto ampia e il sottoinsieme molto esteso.
La mia domanda dunque è: esiste un metodo per determinare il minimo numero facente parte del sottoinsieme scelto, che non sia quello di eseguire banalmente l'intero sviluppo e andare alla ricerca del risultato più basso?
E la domanda più generale è: esiste letteratura in merito?
Grazie
Risposte
Ciao!
Sulla rappresentazione esiste letteratura: vedi il teorema cinese del resto.
Per quanto riguarda massimi e minimi, non conosco metodi che permettano di capire direttamente quale sia tra due quaterne quella "maggiore" (cioe' quella che individua il numero maggiore). Ho l'impressione che sia difficile perche' un po' contro la natura della rappresentazione stessa. Forse mi sbaglio.
Sulla rappresentazione esiste letteratura: vedi il teorema cinese del resto.
Per quanto riguarda massimi e minimi, non conosco metodi che permettano di capire direttamente quale sia tra due quaterne quella "maggiore" (cioe' quella che individua il numero maggiore). Ho l'impressione che sia difficile perche' un po' contro la natura della rappresentazione stessa. Forse mi sbaglio.
"Martino":
Per quanto riguarda massimi e minimi, non conosco metodi che permettano di capire direttamente quale sia tra due quaterne quella "maggiore" (cioe' quella che individua il numero maggiore). Ho l'impressione che sia difficile perche' un po' contro la natura della rappresentazione stessa. Forse mi sbaglio.
Grazie per la risposta.
Non credo che ti sbagli, o almeno non deve essere una cosa immediata perché è da un po' (tanto) che ci sto sbattendo la testa. Ormai l'ho presa come una sfida, ma sento che l'ho già persa...
Mi basterebbe anche un algoritmo "fast" di calcolo automatico che permettesse di diminuire in modo significativo il numero di verifiche da fare, cha usando il metodo brutale appare essere uguale alla numerosità del sottoinsieme!
(a dire il vero un modo l'ho trovato per dimezzare o poco più le operazioni, ma una riduzione di questo genere è ben poca cosa nel caso di numerosità grandi a piacere!)
Sarà possibile trovare qualcosa del genere? mah...
Ciao,
Forse ti può aiutare la mia pensata da ingegnere come te...
http://www.maruelli.com/PRIME_STUDY.HTM
(è una pagina privata senza prubblicità link e schifezze...)
Ciao
Stefano
Forse ti può aiutare la mia pensata da ingegnere come te...
http://www.maruelli.com/PRIME_STUDY.HTM
(è una pagina privata senza prubblicità link e schifezze...)
Ciao
Stefano
"primogramma":
Ciao,
Forse ti può aiutare la mia pensata da ingegnere come te...
http://www.maruelli.com/PRIME_STUDY.HTM
(è una pagina privata senza prubblicità link e schifezze...)
Ciao
Stefano
Ciao!
si vede che sei un ingegnere, se fossi un matematico non avrei capito una parola di quanto scrivi e invece qualcosa ho capito
(ho dato solo una sommaria occhiata e mi riservo di pensarci con più calma).Non so se le tue pensate risultino utili al mio problema, però in generale mi sono fatto l'idea che coi numeri primi ci si rompe solo le ossa e facilmente si sconfina nel delirio e nell'illusione di aver fatto grandi scoperte che poi si rivelano bolle di sapone.
I numeri primi hanno il difetto di essere apparentemente semplici, tanto che perfino noi ingegneri pensiamo di capirli e quindi veniamo invogliati a cimentarci con essi, mentre invece sono oggetti inafferrabili che si fanno beffe di ogni tentativo di inquadramento.
Non lo dico con riferimento alle tue pensate eh, lo dico in via del tutto generale senza averci riflettuto abbastanza su quanto hai scritto, e lo dico solo per motivato pessimismo (hai letto il libro di Du Sautoy? se ti appassionano i numeri primi immagino di sì).
Riguardo al mio problema però mi pare qualcosa di più abbordabile rispetto alla razionalizzazione del mondo dei numeri primi, per questo ci sto sbattendo la testa (a meno che non sia anche questa la vana ricerca di una soluzione inesistente).
Ciao.
Ciao,
Si letto, e da li il delirio... ora, per fortuna li guardo come qualcno tiene la settimana enigmistica...
Quello che mi fa strano, forse perchè non ho potuto ancora scrivere da dove parte il mio ragionamento, è che il fatto di aver messo tutti i primi vicini ad una retta risulti così banale anche per Martino.
Vicino vuol dire che intorno a valori di 800000 faccio un errore medio assoluto di circa 20, e senza applicare alcun algoritmo di correzione.
Ho già in mente un paio di strade e credo che qualcosa salterà fuori non appena avrò un altro po' di tempo.
La cosa è legata ed un mega brevetto che non ho il coreaggio di depositare perchè (come altri "enormi") credo finirebbe con il dissanguarmi e restare nel mio cassetto per 20 anni...
Solo per dire che non faccio sparate.... 15 anni fa ho brevettato un sistema di pagamento con il cellulare.... hai visto qualcuno che paga qualcosa con il cellulare e gli esce la ricevuta dal bancomat dell'esercente ? se lo eprdi lo spegni e lo rintracci con una chiamata, subito, non dopo che ti han svuotato il conto, l'estratto conto lo vedi sul display, etc...
Visa plastica ora intelligente non gradisce... figurati 15 anni fa...
(Ribadisco, non è una banfata, la lista dei miei brevetti, scaduti e non, li trovi anche su internet...)
Scusa il fuorionda !
Ciao
Stefano
Si letto, e da li il delirio... ora, per fortuna li guardo come qualcno tiene la settimana enigmistica...
Quello che mi fa strano, forse perchè non ho potuto ancora scrivere da dove parte il mio ragionamento, è che il fatto di aver messo tutti i primi vicini ad una retta risulti così banale anche per Martino.
Vicino vuol dire che intorno a valori di 800000 faccio un errore medio assoluto di circa 20, e senza applicare alcun algoritmo di correzione.
Ho già in mente un paio di strade e credo che qualcosa salterà fuori non appena avrò un altro po' di tempo.
La cosa è legata ed un mega brevetto che non ho il coreaggio di depositare perchè (come altri "enormi") credo finirebbe con il dissanguarmi e restare nel mio cassetto per 20 anni...
Solo per dire che non faccio sparate.... 15 anni fa ho brevettato un sistema di pagamento con il cellulare.... hai visto qualcuno che paga qualcosa con il cellulare e gli esce la ricevuta dal bancomat dell'esercente ? se lo eprdi lo spegni e lo rintracci con una chiamata, subito, non dopo che ti han svuotato il conto, l'estratto conto lo vedi sul display, etc...
Visa plastica ora intelligente non gradisce... figurati 15 anni fa...
(Ribadisco, non è una banfata, la lista dei miei brevetti, scaduti e non, li trovi anche su internet...)
Scusa il fuorionda !
Ciao
Stefano
"primogramma":
Vicino vuol dire che intorno a valori di 800000 faccio un errore medio assoluto di circa 20, e senza applicare alcun algoritmo di correzione.
Che cosa significa esattamente?
"primogramma":Ti rispondo nell'altro filone (clic), altrimenti qui andiamo completamente fuori tema.
Quello che mi fa strano, forse perchè non ho potuto ancora scrivere da dove parte il mio ragionamento, è che il fatto di aver messo tutti i primi vicini ad una retta risulti così banale anche per Martino.
Vicino vuol dire che intorno a valori di 800000 faccio un errore medio assoluto di circa 20, e senza applicare alcun algoritmo di correzione.
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